组合分析
概率论中,许多问题只要通过计算某个事件发生的结果的数目就能得以解决,关于计数的数学理论通常称为组合分析,通俗来讲我认为这个东西就是“数数”,如果数都数不好那还怎么求概率。(高中学的时候叫排列组合)
1 计数基本法则
首先来看计数基本法则,计数基本法则是许多其他“数数”的基础,日常生活中也常常要用到,只不过我们没有用专业一点儿的术语来描述它,假设有两个实验,其中试验1有
m种可能的结果,对应于试验1的每一个结果,试验2有
n种可能的结果,则这两个实验一共有
mn种可能的结果。这种只有两个试验的情况简直再好理解不过,进一步推广到
r个试验,试验1有
n1种可能的结果,对应于试验1的每一种结果,试验2有
n2种可能的结果,以此类推,这
r个试验一共有
n1n2⋯nr种可能的结果。
计数基本法则的证明十分简单,尽管把所有的情况都列举出来,虽然麻烦了一点儿,不过很直观。
2 排列
根据实际问题入手,给出三个字母
a,b,c现在对这三个字母进行排列,一共有多少种不同的情况呢?小学数学题嘛,一共6种情况分别是
abc,acb,bac,bca,cab,cba,每一种都称为一个排列。这排列数量是这么来的,第一个位置有三种可能,第一个位置确定完后第二个位置只有两种可能,最后一个位置只有一种可能,因此就是
3∗2∗1=6。推广到若一共有
n个元素,依据上述推理,一共有
n∗(n−1)∗(n−2)∗⋯∗2∗1=n!不同排列方式。(高中学的表示方法就是
Ann)
我们现在将这个问题稍作修改,现在有6字母
a,a,a,b,b,c对着6个字母进行排序,一共有多少种不同的情况呢?现在将重复的字母先区分开,给个下标
a1,a2,a3,b1,b2,c现在就变成了前面的情况,一共有
6!=720种情况。如果把下标去掉,则会发现有许多重复的排列结果,对于
a来说
a1,a2,a3在排列中的相对位置有
3!=6种情况,去掉下标后这些情况完全一样,
b同理
2!=2种情况,根据基本计数法则,
a与
b产生的排列结果有
6∗2=12种结果,鉴于这些结果完全没区别,因此实际的不同排列组合应该为
720/12=60种。老套路,推广到一般情况对于有
n个元素,其中有
n1个元素彼此相同,
⋯,
nr个元素彼此相同,这样的不同排列方式数量为
n1!n2!⋯nr!n!。
3 组合
再给出一个实际问题,从26个英文字母里面选择3个不同的英文字母有多少种不同的组,按照正常的逻辑推理,首先选第一个字母有26种可能,然后选第二个字母只剩下25种可能,再选第三个字母剩下24种可能。于是就是
26∗25∗24=15600,如果考虑顺序则到此为止。不考虑顺序就是组合的问题,这15600种结果中,我们拿出
a,b,c三个字母,它被拿出的顺序可能是前一节说过的6种,现在这6种情况都是同一种组合,对任意三个字母都是一样的,因此组合的数量为
15600/6=2600种。推广到一般情况,从
n个元素中找
r个元素,一共有
n∗(n−1)∗⋯∗(n−r+1)种取法,这些取法中的
r个元素根据不同的排列方式被取了
r!次,因此不同组合的数量应为
r!n∗(n−1)∗⋯∗(n−r+1)=(n−r)!r!n!种。
现在来专业地表达组合,对于
r≤n,定义
(nr)=(n−r)!r!n!,这样就表示从
n个元素中一次取
r个的可能组合数。(高中学的是
Cnr)现在考虑对这个公式变一变,试想从
n个元素中选取
r个元素,其中有一个元素
γ,所有可能的组合或包含
γ或不包含
γ,这就有了这个非常有用的恒等式:
(nr)=(n−1r−1)+(n−1r)
组合
(nr)=(n−r)!r!n!经常成为二项式系数。二项式定理如下:
(x+y)n=k=0∑n(nk)xkyn−k
二项式定理可以用数学归纳法和组合法证明,这里就不证了。
4 二项式及多项式系数
组合
(nr)=(n−r)!r!n!经常成为二项式系数。二项式定理如下:
(x+y)n=k=0∑n(nk)xkyn−k
二项式定理可以用数学归纳法和组合法证明,这里就不证了。现在考虑另一个问题,把
n个不同的元素分成
r组,每组包含的元素数量分别为
n1n2⋯nr其中
∑i=1rni=n,一共有多少分法。根据组合我们可以非常简单地想到,先从
n中选
n1个,再从剩下的
n−n1中选
n2个,以此类推,最后根据计数基本法则,组数就是这些的乘积:
(nn1)(n−n1n2)⋯(n−n1−n2−⋯−nr−1nr)=(n−n1)!n1!n!∗(n−n1−n2)!n2!(n−n1)!∗⋯∗0!nr!(n−n1−n2−⋯−nr−1)!=n1!n2!⋯nr!n!
这和前面那个排列问题的结果是一样的。
根据上面问题,如果
∑i=1rni=n,则定义
(nn1,n2,⋯,nr)=n1!n2!⋯nr!n!,表示吧
n个不同的元素分成大小分别为
n1,n2,⋯,nr的
r个不同组的组数。这个组合也称为多项式系数,多项式定理如下:
(x1+x2+⋯+xr)n=(n1,⋯,nr):n1+⋯+nr=n∑(nn1,n2,⋯,nr)x1n1x2n2⋯xrnr
所有
ni都是非负数。
5 思考问题
理解数学中的定义并不难,遇到实际问题如果脑子不灵活理解了定义也不会用。下面两个问题很简单,稍微思考一下就可以了:
- 将10个小孩平均分成A、B两个组去参加两场不同的比赛,一共有多少种分法?(
5!×5!10!)
- 将10个小孩平均分成两组进行篮球比赛,一共有多少种分法?(
2!10!/(5!×5!))
参考资料:《概率论基础教程》Sheldon M.Ross