前言
在社交网络中,有一个六度分割理论,具体是说,你与世界上的另一个人间隔的关系不会超过六度,也就是说平均只需要六步就可以联系到任何两个互不相识的人。
一个用户的一度连接用户很好理解,就是他的好友,二度连接用户就是他好友的好友,三度连接用户就是他好友的好友的好友。在社交网络中,我们往往通过用户之间的连接关系,来实现推荐“可能认识的人”这么一个功能。今天的开篇问题就是:给你一个用户,如何找出这个用户的所有三度(其中包含一度、二度和三度)好友关系?
这就要用到下面要提到的深度优先和广度优先搜索算法。
什么是搜索算法?
算法是作用于具体数据结构之上的,深度优先搜索算法和广度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构的。这是因为,图这种数据结构的表达能力很强,大部分涉及搜索的场景都可以抽象成“图”。
图上的搜索算法,最直接的理解就是,在图中找出从一个顶点出发,到另一个顶点的路径。具体方法有很多,比如两种最简单、最“暴力”的深度优先搜索和广度优先搜索算法,还有 A*、IDA* 等启发式搜索算法。
需要说明一下,深度优先搜索算法和广度优先搜索算法,既可以用在无向图,也可以用在有向图上。下面主要是针对无向图来讲解。此外,图有两种主要存储方法,邻接表和邻接矩阵。这里的实现是用邻接表来存储图。
public class Graph { // 无向图
private int v; // 顶点的个数
private LinkedList<Integer> adj[]; // 邻接表
public Graph(int v) {
this.v = v;
adj = new LinkedList[v];
for (int i=0; i<v; ++i) {
adj[i] = new LinkedList<>();
}
}
public void addEdge(int s, int t) { // 无向图一条边存两次
adj[s].add(t);
adj[t].add(s);
}
}
广度优先搜索(BFS)
广度优先搜索(Breadth-First-Search),简称为 BFS。直观地讲,它其实就是一种“地毯式”层层推进的搜索策略,即先查找离起始顶点最近的,然后是次近的,依次往外搜索。
尽管广度优先搜索的原理挺简单,但代码实现还是稍微有点复杂度。
public void bfs(int s, int t) {
if (s == t) return;
boolean[] visited = new boolean[v];
visited[s]=true;
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
queue.add(s);
int[] prev = new int[v];
for (int i = 0; i < v; ++i) {
prev[i] = -1;
}
while (queue.size() != 0) {
int w = queue.poll();
for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) {
int q = adj[w].get(i);
if (!visited[q]) {
prev[q] = w;
if (q == t) {
print(prev, s, t);
return;
}
visited[q] = true;
queue.add(q);
}
}
}
}
private void print(int[] prev, int s, int t) { // 递归打印s->t的路径
if (prev[t] != -1 && t != s) {
print(prev, s, prev[t]);
}
System.out.print(t + " ");
}
其中,bfs() 函数就是图的广度优先搜索的代码实现。其中 s 表示起始顶点,t 表示终止顶点。我们搜索一条从 s 到 t 的路径。实际上,这样求得的路径就是从 s 到 t 的最短路径。这里面有三个重要的辅助变量 visited、queue、prev。
- visited 是用来记录已经被访问的顶点,用来避免顶点被重复访问。如果顶点 q 被访问,那相应的 visited[q] 会被设置为 true。
- queue 是一个队列,用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点。因为广度优先搜索是逐层访问的,也就是说,我们只有把第 k 层的顶点都访问完成之后,才能访问第 k+1 层的顶点。当我们访问到第 k 层的顶点的时候,我们需要把第 k 层的顶点记录下来,稍后才能通过第 k 层的顶点来找第 k+1 层的顶点。所以,用这个队列来实现记录的功能。
- prev 用来记录搜索路径。当我们从顶点 s 开始,广度优先搜索到顶点 t 后,prev 数组中存储的就是搜索的路径。不过,这个路径是反向存储的。prev[w] 存储的是,顶点 w 是从哪个前驱顶点遍历过来的。比如,我们通过顶点 2 的邻接表访问到顶点 3,那 prev[3] 就等于 2。为了正向打印出路径,我们需要递归地来打印,具体可以看下 print() 函数的实现方式。
对照代码的图解过程如下:
掌握了广优先搜索算法的原理后,现在来看下,广度优先搜索的时间、空间复杂度是多少呢?
最坏情况下,终止顶点 t 离起始顶点 s 很远,需要遍历完整个图才能找到。这个时候,每个顶点都要进出一遍队列,每个边也都会被访问一次,所以,广度优先搜索的时间复杂度是 O(V+E),其中,V 表示顶点的个数,E 表示边的个数。当然,对于一个连通图来说,也就是说一个图中的所有顶点都是连通的,E 肯定要大于等于 V-1,所以,广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为 O(E)。
广度优先搜索的空间消耗主要在几个辅助变量 visited 数组、queue 队列、prev 数组上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数,所以空间复杂度是 O(V)。
深度优先搜索(DFS)
深度优先搜索(Depth-First-Search),简称 DFS。最直观的例子就是“走迷宫”,假设你站在迷宫的某个岔路口,然后想找到出口。你随意选择一个岔路口来走,走着走着发现走不通的时候,你就回退到上一个岔路口,重新选择一条路继续走,直到最终找到出口。这种走法就是一种深度优先搜索策略。
如图所示,搜索的起始顶点是 s,终止顶点是 t,我们希望在图中寻找一条从顶点 s 到顶点 t 的路径。如果映射到迷宫的例子,s 就是你起始所在的位置,t 就是出口。这里面实线箭头表示遍历,虚线箭头表示回退。从图中可以看出,深度优先搜索找出来的路径,并不是顶点 s 到顶点 t 的最短路径。
实际上,深度优先搜索用的是一种比较著名的算法思想,回溯思想。这种思想解决问题的过程,非常适合用递归来实现,上面深度优先搜索过程的参考代码如下:
boolean found = false; // 全局变量或者类成员变量
public void dfs(int s, int t) {
found = false;
boolean[] visited = new boolean[v];
int[] prev = new int[v];
for (int i = 0; i < v; ++i) {
prev[i] = -1;
}
recurDfs(s, t, visited, prev);
print(prev, s, t);
}
private void recurDfs(int w, int t, boolean[] visited, int[] prev) {
if (found == true) return;
visited[w] = true;
if (w == t) {
found = true;
return;
}
for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) {
if (found == true) return;
int q = adj[w].get(i);
if (!visited[q]) {
prev[q] = w;
recurDfs(q, t, visited, prev);
}
}
}
深度优先搜索的代码实现中也用到了 prev、visited 变量以及 print() 函数,它们跟广度优先搜索代码实现里的作用是一样的。不过,深度优先搜索代码实现里,有个比较特殊的变量 found,它的作用是,当我们已经找到终止顶点 t 之后,我们就不再递归地继续查找了。
理解了深度优先搜索算法之后,我们再来看下,深度度优先搜索的时间、空间间复杂度是多少呢?
可以看出,每条边最多会被访问两次,一次是遍历,一次是回退。所以,图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是 O(E),E 表示边的个数。
深度优先搜索算法的消耗内存主要是 visited、prev 数组和递归调用栈。visited、prev 数组的大小跟顶点的个数 V 成正比,递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数,所以总的空间复杂度就是 O(V)。
解答开篇:如何找出社交网络中某个用户的三度好友关系?
社交网络可以用图来表示。这个问题就非常适合用图的广度优先搜索算法来解决,因为广度优先搜索是层层往外推进的。首先,遍历与起始顶点最近的一层顶点,也就是用户的一度好友,然后再遍历与用户距离的边数为 2 的顶点,也就是二度好友关系,以及与用户距离的边数为 3 的顶点,也就是三度好友关系。我们只需要稍加改造一下广度优先搜索代码,用一个数组来记录每个顶点与起始顶点的距离,非常容易就可以找出三度好友关系。
小结
一、图的搜索算法
1.定义:在图中找出从一个顶点出发,到另一个顶点的路径。
2.最常用、最基本的两种“暴力”搜索算法:广度优先搜索和深度优先搜索。这两种搜索算法仅适用于状态空间不大,也就是说图不大的搜索。
2.其他高级的搜索算法:A*、IDA* 等启发式搜索算法。
二、广度优先搜索算法(BFS)
1.通俗的理解就是,地毯式层层推进,从起始顶点开始,依次往外遍历。
2.借助队列来实现,遍历得到的路径就是,起始顶点到终止顶点的最短路径。
3.时间复杂度:O(V+E),其中,V 表示顶点的个数,E 表示边的个数。对于一个连通图来说,也可以简写为 O(E)。
4.空间复杂度:辅助变量存储空间的大小都不会超过顶点的个数,所以空间复杂度是 O(V)。
三、深度优先搜索算法(DFS)
1.通俗的理解就是,类似“走迷宫”的思想,采用回溯思想,非常适合用递归实现。
2.借助栈来实现的,注意该方法遍历得到的路径不是起始顶点到终止顶点的最短路径。
3.时间复杂度:O(E),E 表示边的个数。
4.空间复杂度:辅助变量存储空间的大小跟顶点的个数 V 成正比,递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数,所以总的空间复杂度就是 O(V)。
参考
《数据结构与算法之美》
王争
前Google工程师