图中长度为k的路径的计数

给定一个 $n$个顶点，边长为 $1$的有向图的邻接矩阵。求出这个图里长度为 $k$的路径的总数。路径中同一条边允许通过多次。 $(1 \leq n \leq 100,1\leq10^9)$

输入

n = 4
k = 2

输出

6

题解

假设从 $u$出发，到 $v$的路径的总数为 $G_k[u][v]$。首先， $k=1$时的值和边数相等，因此 $G_1$就等于图的临界矩阵。假设我们已经得到了
$G_{k_{1}}[u][w]\times G_{k_{2}}[w][v]$
表示成矩阵的积的形式即为
$G_{k_1+k_2}=G_{k_{1}}G_{k_{2}}$
因此，可以使用矩阵的幂表示出
$G_k=G_{1}^{k}$
这个算法的复杂度为 $O(n^3 log n)$