研读了《Randomized LU Decomposition》,这篇文章将随机SVD方法的思想扩展到传统方法LU分解上从而形成随机LU分解算法。
随机算法对大数据时代下产生的大型稀疏矩阵的低秩近似和分解有着很关键的作用。据此，我们首先研读了英文文献《Randomized LU Decomposition》,这篇文章将随机SVD方法的思想扩展到传统方法LU分解上从而形成随机LU分解算法，并对已有随机矩阵文献中的阈值进行了改进，可以充分利用GPU，避免了GPU-CPU间数据传输。此外，文章结合已有文献分别对现存的各种矩阵分解算法进行运算时间、运算速度和计算机空间复杂度的比对，具体有QR分解，SVD分解，ID(插值)分解。
这篇文章，做了如下图所示的LU分解：
其中m>n,而k远小于n，也就是得到了长的下三角矩阵L,和扁的上三角矩阵U.
产生随机LU分解的思路来源于传统LU分解的两条性质：
1.运算时间依赖于矩阵中非零元素的个数，而LU分解可以产生很多零元素；
2. LU分解可以在GPU上运行，避免GPU-CPU数据传输，运算速度较快，分担了CPU的运算压力。
在已有文献所给出的随机SVD分解中，阈值是由次高斯元（subgaussian entries）构成的随机矩阵的最大、最小奇异值所确定的。这一方法在文章得到了改进。
文章脉络：
首先，综述了当前已有随机分解矩阵的算法；
其次，介绍了一些必要的数学结论用于引出随机LU分解；
之后，给出了 不同情况下随机LU分解的算法并证明对应近似分解的误差限；
最后，计算出近似分解误差限的数值结果，并就运算复杂度方面和其他算法加以比较。
