集合
A={1,2,...,n},它含有
n个元素,可以说这个集合的基数是
n,记做
card A所谓基数,是表示集合中所含元素多少的量。如果
A的基数是
n,也可以记做
∣A∣=n,显然空集的基数是
0,即
∣∅∣=0.
文氏图
设
A为集合,若存在自然数
n,使得
∣A∣=card A=n,则称
A为又穷集,否则称
A为无穷集。
例如,
{a,b,c}为又穷集,而
N,Z,Q,R为无穷集。其中有穷集的计数问题可以使用文氏图很方便地解决。
容斥定理(包含排斥定理)
设
S是有穷集,
p1,p2分别代表两种性质,对于
S中的任何一个元素
s,只能处于以下4种情况之一:
- 只具有性质
p1
- 只具有性质
p2
- 同时具有性质
p1,p2
- 不具有性质
p1,p2中的任何一种
令
P1,P2分别表示
S中具有性质
p1,p2的元素的集合,可以得到:
∣P1∩P2∣=∣S∣−(∣P1∣+∣P2∣)+∣P1∩P2∣这便是容斥定理的一种简单形式
如果涉及三条性质,则包含排斥原理的公式变为:
∣P1∩P2∩P3∣=∣S∣−(∣P1∣+∣P2∣+∣P3∣)+(∣P1∩P2∣+∣P1∩P3∣+∣P2∩P3∣)−∣P1∩P2∩P3∣以此类推,可以得到容斥定理的一般形式:
∣P1∩P2∩...∩Pn∣=∣S∣−i=1∑n∣Pi∣+1⩽i<j⩽n∑∣Pi∩Pj∣−1⩽i<j<k⩽n∑∣Pi∩Pj∩Pk∣+...+(−1)n∣P1∩P2∩...∩Pn∣容斥定理表示
S中不具有性质
p1,p2,...,pm的元素数量为
∣P1∩P2∩...∩Pn∣
因此,与之对应的,在
S中至少具有
p1,p2,...,pm其中一条性质的元素数量为:
∣P1∪P2∪...∪Pn∣=i=1∑n∣Pi∣+1⩽i<j⩽n∑∣Pi∩Pj∣+1⩽i<j<k⩽n∑∣Pi∩Pj∩Pk∣−...+(−1)n∣P1∩P2∩...∩Pn∣即:
∣P1∩P2∩...∩Pn∣=∣S∣−∣P1∪P2∪...∪Pn∣