集合 $A=\{1,2,...,n\}$，它含有 $n$个元素，可以说这个集合的基数是 $n$，记做 $card\ A$所谓基数，是表示集合中所含元素多少的量。如果 $A$的基数是 $n$，也可以记做 $|A|=n$，显然空集的基数是 $0$，即 $|\varnothing|=0$.

文氏图

设 $A$为集合，若存在自然数 $n$，使得 $|A|=card\ A=n$，则称 $A$为又穷集，否则称 $A$为无穷集。

例如， $\{a,b,c\}$为又穷集，而 $N,Z,Q,R$为无穷集。其中有穷集的计数问题可以使用文氏图很方便地解决。

容斥定理(包含排斥定理)

设 $S$是有穷集， $p_1,p_2$分别代表两种性质，对于 $S$中的任何一个元素 $s$，只能处于以下4种情况之一：

1. 只具有性质 $p_1$
2. 只具有性质 $p_2$
3. 同时具有性质 $p_1,p_2$
4. 不具有性质 $p_1,p_2$中的任何一种

令 $P_1,P_2$分别表示 $S$中具有性质 $p_1,p_2$的元素的集合，可以得到： $|\overline P_1\cap\overline P_2|=|S|-(|P_1|+|P_2|)+|P_1\cap P_2|$这便是容斥定理的一种简单形式

如果涉及三条性质，则包含排斥原理的公式变为： $|\overline P_1\cap\overline P_2\cap\overline P_3|=|S|-(|P_1|+|P_2|+|P_3|)+(|P_1\cap P_2|+|P_1\cap P_3|+|P_2\cap P_3|)-|P_1\cap P_2\cap P_3|$以此类推，可以得到容斥定理的一般形式： $\begin{aligned} & |\overline P_1\cap\overline P_2\cap...\cap\overline P_n| \\ & = |S|-\sum_{i=1}^{n}|P_i|+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{}|P_i\cap P_j| -\sum_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}^{}|P_i\cap P_j\cap P_k|\\ &\quad+...+(-1)^n|P_1\cap P_2\cap...\cap P_n|\\ \end{aligned}$容斥定理表示 $S$中不具有性质 $p_1,p_2,...,p_m$的元素数量为 $|\overline P_1\cap\overline P_2\cap...\cap\overline P_n|$

因此，与之对应的，在 $S$中至少具有 $p_1,p_2,...,p_m$其中一条性质的元素数量为: $\begin{aligned} & |P_1\cup P_2\cup ...\cup P_n| \\ & =\sum_{i=1}^{n}|P_i|+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{}|P_i\cap P_j| +\sum_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}^{}|P_i\cap P_j\cap P_k|\\ &\quad-...+(-1)^n|P_1\cap P_2\cap...\cap P_n|\\ \end{aligned}$即： $|\overline P_1\cap\overline P_2\cap...\cap\overline P_n| = |S|-|P_1\cup P_2\cup ...\cup P_n|$