为什么Dijkstra算法中真正最短路必须经过最短路集合
Dijkstra算法集合
在Dijkstra算法中，有这样两个集合：
| 集合 | 内容 |
|---|---|
| 集合S | 源点**s(小写)**和已经确定了最短距离的顶点vi |
| 数组dist[] | dist[v]为s到v的最短路径长度，但其中路径仅经过集合S中的顶点 |
疑惑
从Dijkstra算法中我们不难看出，若路径是按照非递减的顺序生成的，Dijistra算法认为真正的最短路径一定只经过S中的顶点。
为什么经过S中的顶点才是最短路径，就不能经过S以外的顶点是最短路径吗？
证明
我们采用反证法1证明这个问题：
如果源点为A，我们即将确定最短路径的点为V
假设Dijkstra的想法是错误的，那么在集合S以外就会存在一个点W，最短路径是
Dijkstra算法不会先经过一个距离更远的点再到V，即A到W的距离肯定小于A到V 的距离
此时我们可以发现：
- V是马上要确定最短路径的点
- 路径是按照非递减的顺序生成的
- A到W的距离小于A到V的距离
- 集合S储存的是已经确定了最短距离的顶点vi
也就是说，既然A到W距离比A到V小，而且我们已经到将要确定V的最短距离这一步了，那么W一定已经被确定好最短距离了，即W一定已经被收进集合S中，这与我们的假设矛盾。
参考 浙江大学 陈越 《数据结构》 ↩︎
