大菜鸡的数论之路-莫比乌斯
苗神：学屁莫比乌斯啊，学了你也不会，那么菜，学什么莫比乌斯。
大菜鸡：？？？
公式打着太麻烦，就直接贴我自己模板里面的公式了。
证明：是时候给别人贡献一波访问量了（其实是我懒得打证明了）
莫比乌斯函数线性筛模板
const int MAXN=50000;
int v[MAXN+10];
int miu[MAXN+10];
int sum[MAXN+10];//求前缀和
void Moblus()
{
for(int i=1;i<=MAXN;i++)
{
miu[i]=1;
v[i]=0;
}
for(int i=2;i<=MAXN;i++)
{
if(v[i])
continue;
miu[i]=-1;
for(int j=2*i;j<=MAXN;j+=i)
{
v[j]=1;
if((j/i)%i==0)
miu[j]=0;
else
miu[j]*=-1;
}
}
/*记录莫比乌斯函数的前缀和
for(int i=1;i<=MAXN;i++)
{
sum[i]=sum[i-1]+miu[i];
}
*/
}
下面是例题
BZOJ 1101: [POI2007]Zap
Description
FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。
Input
第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）
Output
对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。
Sample Input
2
4 5 2
6 4 3
Sample Output
3
2
Hint
对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（6,3），（3,3）。
题意
RT
思路
看上面那个链接
坑点
日常分块，日常int类型转LL然后做乘法。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=50000;
int v[MAXN+10];
int miu[MAXN+10];
int sum[MAXN+10];
void Moblus()
{
for(int i=1;i<=MAXN;i++)
{
miu[i]=1;
v[i]=0;
}
for(int i=2;i<=MAXN;i++)
{
if(v[i])
continue;
miu[i]=-1;
for(int j=2*i;j<=MAXN;j+=i)
{
v[j]=1;
if((j/i)%i==0)
miu[j]=0;
else
miu[j]*=-1;
}
}
for(int i=1;i<=MAXN;i++)
{
sum[i]=sum[i-1]+miu[i];
}
}
int main()
{
Moblus();
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int n,m,d;
ll ans=0;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&d);
if(n>m)
swap(n,m);
n/=d,m/=d;
for(int i=1,last=1;i<=n;i=last+1)
{
last=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=1ll*(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
BZOJ 2301: [HAOI2011]Problem b
Description
对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。
Input
第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k
Output
共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数
Sample Input
2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2
Sample Output
14
3
HINT
100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000
题意
RT
思路
容斥。先跟上题一样，求[1,b],[1,d]内满足的答案数，减去[1,a-1],[1,d]和[1,b],[1,c-1]内的答案数，由于[1,a-1],[1,c-1]内的答案数被减了两次，所以我们加一次回去。即可求出[a,b],[c,d]内的答案数。
坑点
因为要求的是[a,b],[c,d]内的答案数，所以减掉的是a-1和b-1的答案数，所以需要先a–,c–。
某菜鸡最开始是先a/=k,c/=k然后再a–,c–，遂自闭。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=60000;
int v[MAXN+10];
int miu[MAXN+10];
int sum[MAXN+10];
void Moblus()
{
for(int i=1;i<=MAXN;i++)
{
miu[i]=1;
v[i]=0;
}
for(int i=2;i<=MAXN;i++)
{
if(v[i])
continue;
miu[i]=-1;
for(int j=2*i;j<=MAXN;j+=i)
{
v[j]=1;
if((j/i)%i==0)
miu[j]=0;
else
miu[j]*=-1;
}
}
for(int i=1;i<=MAXN;i++)
{
sum[i]=sum[i-1]+miu[i];
}
}
int main()
{
Moblus();
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int a,b,c,d,k;
ll ans=0;
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
a--,c--;
a/=k,b/=k,c/=k,d/=k;
int tmp;
tmp=min(b,d);
for(int i=1,last=1;i<=tmp;i=last+1)
{
last=min(b/(b/i),d/(d/i));
ans+=1ll*(sum[last]-sum[i-1])*(b/i)*(d/i);
}
tmp=min(a,d);
for(int i=1,last=1;i<=tmp;i=last+1)
{
last=min(a/(a/i),d/(d/i));
ans-=1ll*(sum[last]-sum[i-1])*(a/i)*(d/i);
}
tmp=min(b,c);
for(int i=1,last=1;i<=tmp;i=last+1)
{
last=min(b/(b/i),c/(c/i));
ans-=1ll*(sum[last]-sum[i-1])*(b/i)*(c/i);
}
tmp=min(a,c);
for(int i=1,last=1;i<=tmp;i=last+1)
{
last=min(a/(a/i),c/(c/i));
ans+=1ll*(sum[last]-sum[i-1])*(a/i)*(c/i);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
