定理内容
如果函数f(x)满足如下条件:
(1)f(x)在闭区间[a ,b]上连续;
(2)f(x)在开区间(a,b) 内可导;
(3)f(x)在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b) ,
那么在(a,b) 内至少有一点ξ (a<ξ<b),使得函数f(x) 在该点的导数等于零,即f'(ξ)=0。
几何意义
在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端高度相等,则至少存在一条水平切线。(图形如下所示)
证明过程
rolle定理证明比较直观,就是最值辅助证明,故不多做解释。
因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M 和 m 表示,分两种情况讨论:
(1)若 M=m,则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数,结论显然成立。
(2)若 M>m,则因为 f(a)=f(b) ,使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得,f(x) 在 ξ 处取得极值,由费马引理推知:f'(ξ)=0。(费马引理:可导函数的每一个极值都是驻点(函数的导数在该点为零))
注意:rolle定理中的三个条件缺少任何一个,结论将不一定成立。