[AFCTF2018]花开藏宝地 CRT

中国剩余定理

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

使用中国剩余定理来求解上面的“物不知数”问题，便可以理解《孙子歌诀》中的数字含义。这里的线性同余方程组是：

(S) : \quad \left\{ \begin{matrix} x \equiv 2 \pmod {3} \\ x \equiv 3 \pmod {5} \\ x \equiv 2 \pmod {7} \end{matrix} \right.

三个模数 $m 1= 3, m 2= 5, m 3= 7 的乘积是 M= 105，对应的 M 1= 35, M 2= 21, M 3= 15. 而可以计算出相应的数论倒数： t 1= 2, t 2= 1, t 3= 1. 所以《孙子歌诀》中的 70、21 和 15 其实是这个“物不知数”问题的基础解：$

70 = 2 \times 35 \equiv \left\{ \begin{matrix} 1 \pmod {3} \\ 0 \pmod {5} \\ 0 \pmod {7} \end{matrix} , \right. 21 = 1 \times 21 \equiv \left\{ \begin{matrix} 0 \pmod {3} \\ 1 \pmod {5} \\ 0 \pmod {7} \end{matrix} , \right. 15 = 1 \times 15 \equiv \left\{ \begin{matrix} 0 \pmod {3} \\ 0 \pmod {5} \\ 1 \pmod {7} \end{matrix} , \right.

而将原方程组中的余数相应地乘到这三个基础解上，再加起来，其和就是原方程组的解：

2\times 70 + 3 \times 21 + 2 \times 15 \equiv \left\{ \begin{matrix} 2 \times 1 + 3 \times 0 + 2 \times 0 \equiv 2 \pmod {3} \\ 2 \times 0 + 3 \times 1 + 2 \times 0 \equiv 3 \pmod {5} \\ 2 \times 0 + 3 \times 0 + 2 \times 1 \equiv 2 \pmod {7} \end{matrix} , \right.

这个和是 233，实际上原方程组的通解公式为：

x=233+k\times 105,\;k\in \mathbb {Z}

《孙子算经》中实际上给出了最小正整数解，也就是 $k=-2$

此上为维基百科解释。

因与官方解不同

贴出此题官方write up

a1 =163305039963008322700958678938420655039108584848594236473036556130206292229761961459635355105529119955950769119000647821166302409987726181456624233820238004130596582552143052085826562771938653314722288583956794740182869336927141053110739981290237894112152720822014240230972011848683576402535994825309029822761855623903611335752059666683377536920052428648302389426609672118522003510398578217
d1 =347051559622463144539669950096658163425646411435797691973701513725701575100810446175849424000000075855070430240507732735393411493866540572679626172742301366146501862670272443070970511943485865887494229487420503750457974262802053722093905126235340380261828593508455621667309946361705530667957484731929151875527489478449361198648310684702574627199321092927111137398333029697068474762820813413
a2 =151758100093328024755534362157152644916689556800407091638077262152051356374687426002691308331360911658681675621180784078464300557713597658668737755275578303683512763651424490696663046659762209459401095803407234074793144034799798937463085989364658809489473016814564284374253047111285307568938011571482613761721746338619879940928380741377367381517427341679641871126076991209176935339058909863
d2 =347051559622463144539669950096658163425646411435797691973701513725701575100810446175849424000000075855070430240507732735393411493866540572679626172742301366146501862670272443070970511943485865887494229487420503750457974262802053722093905126235340380261828593508455621667309946361705530667957484731929151875527489478449361198648310684702574627199321092927111137398333029697068474762820818553
a3 = 346077592068259399350080379767941982003794373736058097723728104020814800897686828693026215723695173898771936691822530717642440410239211631306801809213192374695040232378965389612021366734818648007275332322621064659199680848745242700755440206949465953441277866419617961232234201083716216031999849609543380477085554544227121956015035672626500140341901966363694497881768843758979050832435224875
d3 =347051559622463144539669950096658163425646411435797691973701513725701575100810446175849424000000075855070430240507732735393411493866540572679626172742301366146501862670272443070970511943485865887494229487420503750457974262802053722093905126235340380261828593508455621667309946361705530667957484731929151875527489478449361198648310684702574627199321092927111137398333029697068474762820819351

dd = d1*d2*d3
t1 = pow(dd//d1,d1-2,d1)
assert(t1*d2*d3%d1 == 1)
t2 = pow(dd//d2,d2-2,d2)
assert(t2*d1*d3%d2 == 1)
t3 = pow(dd//d3,d3-2,d3)
assert(t3*d2*d1%d3 == 1)
s = a1*t1*d2*d3+a2*t2*d1*d3+a3*t3*d1*d2
p = 80804238007977405688648566160504278593148666302626415149704905628622876270862865768337953835725801963142685182510812938072115996355782396318303927020705623120652014080032809421180400984242061592520733710243483947230962631945045134540159517488288781666622635328316972979183761952842010806304748313326215619695085380586052550443025074501971925005072999275628549710915357400946408857
s %= dd
print(s)
s %= p
print(s)

　　利用费马小定理，解出明文

我的writeup

import gmpy2
a1 =163305039963008322700958678938420655039108584848594236473036556130206292229761961459635355105529119955950769119000647821166302409987726181456624233820238004130596582552143052085826562771938653314722288583956794740182869336927141053110739981290237894112152720822014240230972011848683576402535994825309029822761855623903611335752059666683377536920052428648302389426609672118522003510398578217
d1 =347051559622463144539669950096658163425646411435797691973701513725701575100810446175849424000000075855070430240507732735393411493866540572679626172742301366146501862670272443070970511943485865887494229487420503750457974262802053722093905126235340380261828593508455621667309946361705530667957484731929151875527489478449361198648310684702574627199321092927111137398333029697068474762820813413
a2 =151758100093328024755534362157152644916689556800407091638077262152051356374687426002691308331360911658681675621180784078464300557713597658668737755275578303683512763651424490696663046659762209459401095803407234074793144034799798937463085989364658809489473016814564284374253047111285307568938011571482613761721746338619879940928380741377367381517427341679641871126076991209176935339058909863
d2 =347051559622463144539669950096658163425646411435797691973701513725701575100810446175849424000000075855070430240507732735393411493866540572679626172742301366146501862670272443070970511943485865887494229487420503750457974262802053722093905126235340380261828593508455621667309946361705530667957484731929151875527489478449361198648310684702574627199321092927111137398333029697068474762820818553
a3 = 346077592068259399350080379767941982003794373736058097723728104020814800897686828693026215723695173898771936691822530717642440410239211631306801809213192374695040232378965389612021366734818648007275332322621064659199680848745242700755440206949465953441277866419617961232234201083716216031999849609543380477085554544227121956015035672626500140341901966363694497881768843758979050832435224875
d3 =347051559622463144539669950096658163425646411435797691973701513725701575100810446175849424000000075855070430240507732735393411493866540572679626172742301366146501862670272443070970511943485865887494229487420503750457974262802053722093905126235340380261828593508455621667309946361705530667957484731929151875527489478449361198648310684702574627199321092927111137398333029697068474762820819351
aa = [a1,a2,a3]
dd = [d1,d2,d3]

def GCRT(mi, ai):
    assert (isinstance(mi, list) and isinstance(ai, list))
    curm, cura = mi[0], ai[0]
    for (m, a) in zip(mi[1:], ai[1:]):
        d = gmpy2.gcd(curm, m)
        c = a - cura
        assert (c % d == 0) 
        K = c // d * gmpy2.invert(curm // d, m // d)
        cura += curm * K
        curm = curm * m // d
        cura %= curm
    return (cura % curm, curm) #
p = 80804238007977405688648566160504278593148666302626415149704905628622876270862865768337953835725801963142685182510812938072115996355782396318303927020705623120652014080032809421180400984242061592520733710243483947230962631945045134540159517488288781666622635328316972979183761952842010806304748313326215619695085380586052550443025074501971925005072999275628549710915357400946408857
s,dd = GCRT(dd,aa)
import libnum
s %= p
print(libnum.n2s(s))

[AFCTF2018]花开藏宝地 CRT

猜你喜欢