首先说几个定义。以下定义是我自己用通俗的语言说的,以便于不太了解图论的同学也能够有个大概的认识。
二分图:有点资料也叫作二部图。它是如果一个图可以分为两个子集X和Y,且X和Y通过有边连接。通俗点说,就是X的每一个边的另一个端点只能是Y里的一个顶点,Y的每个边的另一个端点只能是X的一个顶点。
最大匹配:在二分图中,最大匹配包含的边(连接X中顶点x和Y中顶点y的边)是所有匹配中边数最多的。
直接上代码
广度搜索(DFS)
特点:
优点,实现简洁,理解容易。适用:稠密图,由于边多,DFS找增广路很快。复杂度O(n3)
#include <iostream> #include <string.h> using namespace std; #define MAXN 10 //MAXN表示X集合和Y集合顶点个数的最大值 int nx,ny; //x和y集合中顶点的个数 int g[MAXN][MAXN]; //邻接矩阵,g[i][j]为1表示有连接 int cx[MAXN],cy[MAXN]; //cx[i],表示最终求得的最大匹配中,与x集合中元素Xi匹配的集合Y中顶点的索引 //cy[i],表示最终求得的最大匹配中,与y集合中元素Yi匹配的集合X中顶点的索引 //DFS算法中记录顶点访问状态的数据mk[i]=0表示未访问过,为1表示访问过 int mk[MAXN]; //从集合X中的定顶点u出发,用深度有限的策略寻找增广路 //这种增广路只能是当前的匹配数增加1 int path(int u){ for(int v=0;v<ny;++v){ //考虑所有Yi顶点v if(g[u][v] && !mk[v]){ //Y中顶点v与u邻接,且没有访问过 mk[v]=1; //访问v //如果v没有匹配,则直接将v匹配给u,如果v已经匹配了,但是从cy[v],也就是从v之前已经匹配的x出发,找到一条增广路,但是这里记住这里v已经记录访问过了 //如果第一个条件成立,则不会递归调用 if(cy[v]==-1 || path(cy[v])){ cx[u]=v; //把Y中v匹配给X中u cy[v]=u; //把X中u匹配给Y中v return 1; } } } return 0; //如果不存在从u出发的增广路,则返回0 } int maxMatch(){ //求二分图最大匹配的匈牙利算法 int res=0; memset(cx,-1,sizeof(cx)); //从0匹配开始增广,将cx和xy各元素都初始化为-1 memset(cy,-1,sizeof(cy)); for(int i=0;i<nx;++i){ if(cx[i]==-1){ //从X集合中每个没有匹配的点出发开始寻找增广路 memset(mk,0,sizeof(mk)); res+=path(i); } } return res; } int main() { nx=3; ny=4; g[0][0]=0; g[0][1]=1; g[0][2]=1; g[0][3]=0; g[1][0]=0; g[1][1]=1; g[1][2]=0; g[1][3]=0; g[2][0]=1; g[2][1]=0; g[2][2]=1; g[2][3]=1; int num= maxMatch(); cout<<"num="<<num<<endl; for(int num=0;num<3;++num){ cout<<"cx["<<num+1<<"] -> "<<cx[num]+1<<endl; } cout << "!!!Hello World!!!" << endl; // prints !!!Hello World!!! return 0; }
程序运行结果:
深度搜索(BFS)
特点:适用稀疏的二分图,边少,增广路短。复杂度O(N3)
#include <iostream> #include <string.h> using namespace std; #define MAXN 10 int nx=3,ny=4; int g[MAXN][MAXN]; int cx[MAXN]; int cy[MAXN]; int pred[MAXN]; int queue[MAXN]; int MaxMatch(){ int i,j,y; int cur,tail; int res=0; memset(cx,-1,sizeof(cx)); memset(cy,-1,sizeof(cx)); for(i=0;i<nx;++i){ if(cx[i]!=-1) continue; for(j=0;j<ny;j++) pred[j]=-2; cur=tail=0; for(j=0;j<ny;j++){ if(g[i][j]){ pred[j]=-1; queue[tail++]=j; } } while(cur<tail){ y=queue[cur]; if(cy[y]==-1) break; cur++; for(j=0;j<ny;j++){ if( pred[j]==-2 && g[ cy[y]] [j] ){ pred[j]=y; queue[tail++]=j; } } } if(cur==tail) continue; while(pred[y]>-1){ cx[cy[pred[y]]]=y; cy[y]=cy[pred[y]]; y=pred[y]; } cy[y]=i; cx[i]=y; res++; } return res; } int main() { g[0][0]=0; g[0][1]=1; g[0][2]=1; g[0][3]=0; g[1][0]=0; g[1][1]=1; g[1][2]=0; g[1][3]=0; g[2][0]=1; g[2][1]=0; g[2][2]=1; g[2][3]=1; int num= MaxMatch(); cout<<"num="<<num<<endl; for(int num=0;num<3;++num){ cout<<"cx["<<num+1<<"] -> "<<cx[num]+1<<endl; } cout << "!!!Hello World!!!" << endl; // prints !!!Hello World!!! return 0; }
程序运行结果一样: