loj#2143. 「SHOI2017」组合数问题

题目描述

Solution

考虑转化一下我们要求的东西。
$\sum_{i=0}^{n}\binom{nk}{ik+r}=\sum_{i=0}^{n}\binom{nk}{i}[i \equiv r \;\;(mod\;\;k)]$

这个式子是什么呢？
这不就是 $nk$个物品中选择 $i$个物品，且 $i \equiv r\;\;(mod\;\;k)$的方案数吗？

考虑 $dp$，设 $f_{i,j}$表示前 $i$个物品，选择 $j$个的方案数（ $j$是在模 $k$意义下的），有：
$f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,(j-1+k)\%k}$
这里的 $k$只有 $50$，所以可以直接倍增或者矩阵快速幂优化。
我用了矩阵快速幂（直接贴板子就行啦）
时间复杂度 $O(k^3\;lg\;(nk))$

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int MAXN=100005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
int n,mods,k,r;
inline int upd(int x,int y) { return x+y>=mods?x+y-mods:x+y; }
struct Matrix
{
	int n,A[55][55];
	void init() { for (int i=0;i<n;i++) A[i][i]=1; }
	Matrix(int _n=0) { n=_n; memset(A,0,sizeof A); }
	Matrix operator * (const Matrix &y) 
	{
		Matrix Ans(n);
		for (int k=0;k<n;k++)
			for (int i=0;i<n;i++)
				for (int j=0;j<n;j++) Ans.A[i][j]=upd(Ans.A[i][j],1ll*A[i][k]*y.A[k][j]%mods);
		return Ans;
	}
	Matrix operator ^ (ll y)
	{
		Matrix ret(n),x=*this;
		ret.init();
		for (;y;y>>=1)
		{
			if (y&1) ret=ret*x;
			x=x*x;
		}
		return ret;
	}
	void print()
	{
		for (int i=0;i<n;i++)
		{
			for (int j=0;j<n;j++) cout<<A[i][j]<<" ";
			cout<<endl;
		}
	}
};
int main()
{
	n=read(),mods=read(),k=read(),r=read();
	Matrix f(k);
	for (int i=0;i<k;i++) f.A[i][i]++,f.A[i][(i+k-1)%k]++;
	f=f^(1ll*n*k);
//	f.print();
	printf("%d\n",f.A[0][r]);
	return 0;
}