第一个要求a和p互质,第二个和第三个是广义欧拉降幂,不要求a和p互质,但要求b和的大小关系。
A^K^≡A^K%ϕ(m)+ϕ(m)^( mod m) K>ϕ(m) (1)
证明如下
1 若 (A,m)=1,根据欧拉定理 Aϕ(m)≡1(mod m),即可轻易得证
2 若 (A,m)≠1,证明如下
设 K=a∗ϕ(m)+c a≥1,0≤c<ϕ(m)
那么欧拉降幂公式就是
AK≡Aa∗ϕ(m)+c≡Aϕ(m)+c( mod m) (2)
即 证
Aa∗ϕ(m)≡Aϕ(m)(mod m)
即 证
A2∗ϕ(m)≡Aϕ(m)(mod m)
移项
Aϕ(m)(Aϕ(m)−1)≡0(mod m)
即证
m|Aϕ(m)(Aϕ(m)−1)(3)
若有
(m(m,Aϕ(m)),A)=1(4)
根据欧拉定理
Aϕ(m)≡Ak∗ϕ(m(m,Aϕ(m)))≡(Aϕ(m(m,Aϕ(m))))k≡1(mod (m(m,Aϕ(m)))
其中k≥1
移项即得 m(m,Aϕ(m))|(Aϕ(m)−1)
同时乘 (m,Aϕ(m))
即 m|(m,Aϕ(m))∗(Aϕ(m)−1)
即 m|Aϕ(m)(Aϕ(m)−1)
就是 式 3
所以证明 式子 4
(m(m,Aϕ(m)),A)=1
就好了
进行素因子分解
例题:求2(2(2(2(2^…)))) mod p的值
题解:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ph(ll x)
{
ll res=x,a=x;
for(ll i=2;i*i<=x;i++)
{
if(a%i==0)
{
res=res/i*(i-1);
while(a%i==0) a/=i;
}
}
if(a>1) res=res/a*(a-1);
return res;
}
ll quick_pow(ll a,ll b,ll mod)
{
ll ans=1;
while(b)
{
if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
a=(a*a)%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
ll f(ll p)
{
if(p==1) return 0;
ll k=ph(p);
return quick_pow(2,f(k)+k,p);
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
ll p;scanf("%lld",&p);
printf("%lld\n",f(p));
}
return 0;
}
#include <bits/stdc++.h>
#define ll __int64
#define mod 10000000007
using namespace std;
char a[1000006];
ll x,z;
ll quickpow(ll x,ll y,ll z)
{
ll ans=1;
while(y)
{
if(y&1)
ans=ans*x%z;
x=x*x%z;
y>>=1;
}
return ans;
}
ll phi(ll n)
{
ll i,rea=n;
for(i=2;i*i<=n;i++)
{
if(n%i==0)
{
rea=rea-rea/i;
while(n%i==0)
n/=i;
}
}
if(n>1)
rea=rea-rea/n;
return rea;
}
int main()
{
while(scanf("%lld %s %lld",&x,a,&z)!=EOF)
{
ll len=strlen(a);
ll p=phi(z);
ll ans=0;
for(ll i=0;i<len;i++)
ans=(ans*10+a[i]-'0')%p;
ans+=p;
printf("%lld\n",quickpow(x,ans,z));
}
return 0;
}
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define me(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
const int o_o=2e5+5;
const int mod=1e9+7;
const int oo=0x7fffffff;
const int sup=0x80000000;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll euler(ll n){
ll ans=n;
for(ll i=2;i*i<=n;i++){
if(n%i==0){
ans=ans/i*(i-1);
while(n%i==0)n/=i;
}
}
if(n>1)
ans=ans/n*(n-1);
return ans;
}
ll ksm(ll a,ll b,ll MOD){
ll ans=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%MOD)
if(b&1)
ans=ans*a%MOD;
return ans;
}
ll fun(ll t,ll k,ll MOD){
if(MOD==1)
return 0;
ll MO=euler(MOD);
ll p=fun(t+1,k,MO);
return ksm(k,t*p+t*MO,MOD);
}
int main(){
int t;for(cin>>t;t;t--){
ll k,p;scnaf("%lld%lld",&k,&p);
ll ans=fun(1,k,p);
printf("%lld\n",ans);
}
}