ACM数论1–素数筛
直接上优秀一点的筛法
1.埃筛—埃拉托斯特尼筛法,或者叫埃氏筛法
原理:如果找到一个质数那么他的倍数都不是质数
实现方法:用一个长度为N+1的bool数组保存信息,先假设所有的数都是素数(初始化为true),从第一个素数2开始,把2的倍数都标记为非素数(置为false),一直到大于N;然后进行下一趟,找到2后面的下一个素数3,进行同样的处理,直到最后,数组中依然为true的数即为素数。
说明:整数1特殊处理即可。
直接上代码好了
#include<cstdio>
const int N = 100000 + 5;
bool prime[N];
void init()
{
for(int i = 2; i < N; i++)
prime[i] = true;
for(int i = 2; i*i < N; i++)
{
if(prime[i])
for(int j = i*i; j < N; j += i){ // j += i 是表示 i 的倍数
prime[j] = false;
}
}
}
int main()
{
init();
for(int i = 2; i < N; i++)
if(prime[i])
printf("%d ", i);
return 0;
}
这里因为如6同时被2和3标记过,所以不是O(n),而是O(n loglogn)
2.线筛(这是一个O(n)的算法)
这个算法可以保证每个合数是被它最小的质因数筛去,所以可以O(n)
#include<cstdio>
const int N = 100000 + 5;
bool prime[N];//prime[i]表示i是不是质数
int p[N], tot;//p[N]用来存质数
void init(){
for(int i = 2; i < N; i ++) prime[i] = true;//初始化为质数
for(int i = 2; i < N; i++){
if(prime[i]) p[tot ++] = i;//把质数存起来
for(int j = 0; j < tot && i * p[j] < N; j++){
prime[i * p[j]] = false;
if(i % p[j] == 0) break;//保证每个合数被它最小的质因数筛去
}
}
}
int main(){
init();
}
基于埃筛的几个预处理 :
1.质因数
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 100005;
vector<int > prime_factor[N];
void prime_factor_init()
{
for(int i = 2; i < N; i++)
{
if(prime_factor[i].size() == 0)
{
for(int j = i; j < N; j += i)
prime_factor[j].push_back(i);
}
}
}
2.因数
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 100005;
vector<int > factor[N];
void factor_init()
{
for(int i = 2; i < N; i++)
{
for(int j = i; j < N; j += i)
factor[j].push_back(i);
}
}
3.质因数分解(分解为质因数)
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 100005;
vector<int > prime_factor_decompostion[N];
void prime_factor_decompostion_init()
{
int temp;
for(int i = 2; i < N; i++)
{
if(prime_factor[i].size() == 0)
{
for(int j = i; j < N; j += i)
{
temp = j;
while(temp % i == 0)
{
prime_factor_decompostion[i].push_back(i);
temp /= i;
}
}
}
}
}