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1. 二阶锥
1.1 二阶锥定义
在此之前,先给出二阶锥的定义。
在
k 维空间中二阶锥 (Second-order cone) 的定义为
Ck={[ut]∣u∈Rk−1,t∈R,∥u∥≤t}
其也被称为 quadratic,ice-cream,Lorentz cone。
1.2 二阶锥约束
在此基础上,二阶锥约束即为
∥Ax+b∥≤cTx+d⟺[AcT]x+[bd]∈Ck
其中
x∈Rn,A∈R(k−1)×n,b∈Rk−1,c∈Rn,R。实际上是对
x 进行了仿射变换,由于仿射变换不改变凹凸性,因此二阶锥也是凸锥。
2. 优化问题建模
优化目标如下,其中
f∈Rn,Ai∈Rni×n,bi∈Rni,ci∈Rn,di∈R,F∈Rp×n, and
g∈Rp,x∈Rn
minizesubject tofTx∥Aix+bi∥2≤ciTx+di,i=1,…,mFx=g
上述问题被称为二次锥规划是因为其约束,要求仿射函数
(Ax+b,cTx+d) 为
Rk+1 空间中的二阶锥。
3. 类似问题转化
一些其他优化问题也可以转化为 SOCP,例如
3.1 二次规划
考虑二次约束
xTATAx+bTx+c≤0
可以等价转化为 SOC 约束
∥∥∥∥(1+bTx+c)/2Ax∥∥∥∥2≤(1−bTx−c)/2
3.2 随机线性规划
问题模型为
minizesubject tocTxP(aiTx≤bi)≥p,i=1,…,m
问题转化可参考维基百科
4. 问题求解
二阶锥规划可以应用内点法快速求解,且比半正定规划(semidefinite programming)更有效。