版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/78828727
优化理论稍微深入些,就会涉及到锥这个概念,甚至还有专门的锥优化这个研究领域。我一直很奇怪锥到底是什么,准备查阅相关资料,将自己的理解写到博客里面。
1. 锥(cone)
- 对于一个向量空间 与它的一个子集 ,如果子集 中的任意一点 与 任意正数 , 其乘积 仍然属于子集 , 则称 为一个锥。
若向量空间为3维,满足定义的图像确实像一个锥,我猜这应该是它叫锥的原因。
根据定义,一个锥总是无界的。
2. 凸锥(convex cone)
- 若一个锥 中任意两点 与 ,以及任意两个正数 与 , 都有 属于 , 则该锥为凸锥。
显然上图也是一个凸锥。根据定义,凸锥的范围比凸集更大,因为它没有要求
,凸锥首先是一个凸集。
是否存在一个不是凸锥的锥?典型的例子:
一个点 (-2, 2), 另一个点 (1,1), 它们的和 (-1, 3)不在图形里。它的图形:
但是
就是一个凸锥
3. 标准锥(norm cone)
一个 n 维标准锥是满足下列条件的集合:
标准锥是一个凸锥。(标准锥里面的变量不仅包括
,还包括
.)
4. 二阶锥(second order cone)
二阶锥规划是一种非常特殊的非线性优化,有非常高效的求解算法,非常有必要了解一下什么是二阶锥。所谓二阶是指锥里面用到的是二范数,下面的表达式表示一个二阶锥。
二阶锥相当于对标准锥
做了一个仿射变换:
根据仿射变换的性质,变换后凹凸性不变,因此二阶锥仍然是一个凸锥。
注:对向量
仿射变换(相当于将一个图形平移,或变大变小,或旋转,或倒影):
,其中
表示对
变大或变小或旋转倒影,而
表示平移。
5. 二阶锥规划(second order cone programming,SOCP)
很多问题都可以转化为二阶锥规划来求解,而二阶锥规划能够使用内点法很快求解。
5.1 二次凸规划
二次规划可以转化为二阶锥规划。一个二次凸规划表达式,:
转化成下面的二阶锥:
就能使用二阶锥规划求解了。