Coursera机器学习笔记(三) - 多变量线性回归
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一. 假设函数, 梯度下降
1.1 假设函数
在之前的单变量线性回归中, 我们的问题只涉及到了房子面积这一个特征:
在实际问题中, 会有很多特征. 例如, 除了房子面积, 还有房子的卧室数量
, 房子的楼层数
, 房子建筑年龄
. 其中, n表示特征的数量, m表示训练样例的数量,
表示i个训练样例,
表示第i个训练样例的第j个特征.
在单变量线性回归中假设函数为:
类似地, 现在假设函数记作:
再令:
这样就得到了假设函数的向量表示:
1.2 梯度下降
多变量情况下的梯度下降其实没有区别, 只需要把对应的偏导数项换掉即可.
二. 特征处理
2.1 特征缩放
如果每个特征的范围相差的很大, 梯度下降会很慢. 为了解决这个问题, 我们在梯度下降之前应该对数据做特征归缩放(Feature Scaling)处理, 从而将所有的特征的数量级都在一个差不多的范围之内, 以加快梯度下降的速度.
假设现在我们有两个特征, 房子的面积和房间的数量. 如下图所示, 他们的范围相差的非常大. 对于这样的数据, 它的代价函数大概如下图左边, 梯度下降要经过很多很多次的迭代才能达到最优点. 如果我们对这两个特征按照右边给出的公式进行特征缩放, 那么此时的代价函数如下图右边所示, 相对于之前, 可以大大减少梯度下降的迭代次数.
通常我们需要把特征都缩放到 [−1,1] (附近)这个范围.
2.2 均值归一化
还有一个特征处理的方法就是均值归一化(Mean normalization):
或者,
三. 代价函数与学习率
我们可以通过画出minθJ(θ)与迭代次数数的关系图来观察梯度下降的运行. 如下图所示, 横坐标是迭代次数, 纵坐标是代价函数的值. 如果梯度算法正常运行的话, 代价函数的图像大概的形状如下图所示.
还有一种叫自动收敛测试的方法, 即每次迭代之后观察J(θ)的值, 如果迭代之后下降的值小于ϵ(例如
)就判定为收敛. 不过准确地选择阈值ϵ是非常困难的, 通常还是使用画图的方法.
如果出现了下面的两种情况, 这个时候应该选择更小的α. 注意: 1.如果α足够小, 那么J(θ)在每次迭代之后都会减小. 2.但是如果太小, 梯度下降会进行的非常缓慢.
可以使用下面几个值进行尝试.
四. 特征选择与多项式回归
假设预测房屋价格, 选取房屋的长和宽作为变量, 得到如下的假设函数:
当然, 我们觉得真正决定房屋价格应该是与房屋的面积有关. 这时候我们也可以重新选择我们的特征 , 此时的假设函数为:
通过这种特征的选择, 我们可能得到一个更好的模型.
和这个密切相关的一个概念就是多项式回归(Polynomial Regression). 假设有下图所示的关于房屋价格的数据集, 我们有多种模型去拟合(下图右所示). 第一个模型是一个二次函数, 但是二次函数是一个抛物线, 这里不符合(因为房价不会随着房子面积的增加二减小);所以我们选择三次函数的模型, 想要使用该模型去拟合. 那么我们该如何将这个模型运用在我们的数据上呢?我们可以将房屋的面积作为第一个特征, 面积的平方作为第二个特征, 面积的立方作为第三个特征, 如下图左下角所示. (这里需要注意的是,
的范围差别会非常大, 所以一定要进行特征缩放处理)
除了三次函数模型, 这里也可以选择平方根函数模型, 如下图所示.
五. 正规方程
5.1 正规方程
之前我们一直是用的梯度下降求解最优值. 它的缺点就是需要进行很多次迭代才能得到全局最优解. 有没有更好的方法呢? 我们先来看一个最简单的例子, 假设现在的代价函数为
, θ是一个实数. 怎样得到最优解? 很简单, 只要令它的导数为0就可以了.
下图是一个更通用的表达方式
在Octave中, 可用如下命令计算:
pinv(x'*x)*x'*y
这个公式叫做正规方程, 使用这种方法还有一个好处就是不需要进行特征缩放处理.
5.2 梯度下降与正规方程的比较
下图是梯度下降(Gradient Descent)和正规方程(Normal Equation)两种方法优缺点的比较:
梯度下降 | 正规方程 |
---|---|
需要选择学习率α | 不需要选择学习率α |
需要很多次迭代 | 不需要迭代 |
当有大量特征时, 也能正常工作 | 需要计算 , n非常大时, 计算非常慢) |
5.3 正规方程不可逆的情况
使用正规方程还有一个问题就是
可能存在不可逆的情况. 这个时候, 可能是因为我们使用了冗余的特征, 还有一个原因是我们使用了太多的特征(特征的数量超过了样本的数量). 对于这种情况我们可以删掉一些特征或者使用正则化(正则化在后面的课中讲).