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快速排序是另一个分而治之排序算法。归并排序的重点在于合并,快速排序的重点在于分。(红色为每一次选取的候选轴点)
对于一个数组,起始为lo,结束为hi,轴点为pivot。通过每次选取不同的轴点,将轴点移动至某一位置,使得满足下述条件。
那么如何分呢?重点在于寻找轴点轴点需要满足的条件:其左侧元素都比其小,右侧元素都要比其大。如下图:
那么,快速排序就是使得所有元素逐个转换为轴点pivot,那么如何找到/构造这个轴点呢?
构造轴点
- 任取一个数组元素设置为候选轴点pivot,那就随意点---选择a[0]
- 中段U初始化为全集;比轴点小者归为前缀L,U左边界收缩;比轴点大者归为后缀G,U右边界收缩。
通过上面这个实例先来了解主要过程,再看代码估计就好一些了。
- 首先,lo=0,hi=9,右侧选取a[0]=6为候选轴点,a[0]挖掉,作为前缀L的起始位置(因为a[0]作为轴点已经保存,则a[0]可以作为坑,待填)。默认选取第一个为候选轴点,默认从右侧a[hi-1]开始进行逐个检查。
- a[hi=9]=7>轴点(6),归为后缀G,hi--;a[hi=8]=1<轴点(6),归为前缀L,lo++,a[8]连根拔起填入坑a[0],a[8]变为坑。
- a[lo=1]=3<轴点(6),归为前缀L,lo++;a[lo=2]=8>轴点(6),归为后缀G,hi--,a[2]连根拔起填入坑a[8],a[2]变为坑。
- ......依次根据上述规则,直至lo=hi时,轴点正式归位!
则可以归纳为:左右边界lo、hi交替向内收敛,逐个检查元素,与轴点比较,小的归为前缀,大的归为后缀,lo=hi时,即为轴点归位点!!!
综上,mid=6,a[6]=pivot=6;分的过程如图。详细代码如下。
void quickSort(int a[], int low, int high)
{
if (low < high)
{
int m = partition(a, low, high); // O(N)
// a[low..high] ~> a[low..m–1], pivot, a[m+1..high]
quickSort(a, low, m-1); // 递归地将左子阵列排序
// a[m] = pivot 在分区后就被排序好了
quickSort(a, m+1, high); // 然后将右子阵列排序
}
}
int partition(int a[], int lo, int hi)
{
int pivot = a[lo]; //选取侯取轴点
while(lo<hi)//从两点交替地向中间扫描,彼此靠拢
{
while((lo<hi)&&(pivot<a[hi])) hi--;//向左扩展G
if(lo<hi)
a[lo++]= a[hi];//比轴点小的,都归入L
while((lo<hi)&&(a[lo]<pivot)) lo++;//向右扩展L
if(lo<hi)
a[hi--]= a[lo];//比轴点大的,都归入G
}
a[lo]= pivot;//候选轴点,归位,返回其秩!!!
return lo;
}
对于上述算法
最好的情况:每次划分接近平均(L、G都接近n/2),轴点总是接近中央(hi-lo)/2,此时达到O(logn);
最坏的情况:每次划分都不均衡(比如轴点总是最大/最小元素),此时达到O(n^2),与冒泡排序相当。
做出下列改进,根据L、G、U三者大小关系的不变性,将数组分为四个部分:
轴点最初还是选取a[0],L左界是lo,L右界是mi,G左界是mi+1,G左界是mi,G右界是k,U左界是k,U右界是hi。
对于元素x逐个与轴点比较,若小于归为L,若大于归为G。当G区间足够大时,平滑式移动会比较复杂,在此采用滚动式移动比较简便,只要将x与G[mi+1]进行交换。为何能交换呢?因为G中元素均比x大,L中元素均比x小,这一条件始终满足。
遍历完成时,区间U会根据与轴点的大小,分别归入L、G,U会被完全分解,最终消失。最后一步,候选轴点与L右界进行交换,候选轴点归位,名副其实。
如上,可以归纳为:
上述是第一次遍历的最终结果,其余情况类似。
int partition(int a[], int lo, int hi)
{
swap(a[lo],a[lo+rand()%(hi-lo+1)]);//随机交换,避免最坏情况的发生
int pivot = a[lo];
int mi=lo;
for(int i=lo+1;i<=hi;i++)//自左向右考察每个a[i]
if(a[i]<pivot)//若[k]小于轴点,则将其
swap(a[++mi],a[i]);//与[mi]交换,L向右扩展
swap(a[lo],a[mi]);//候选节点归位(名副其实)
return mi;//返回轴点的秩
}
void quickSort(int a[], int low, int high)
{
if (low < high)
{
int m = partition(a, low, high); // O(N)
// a[low..high] ~> a[low..m–1], pivot, a[m+1..high]
quickSort(a, low, m-1); // 递归地将左子阵列排序
// a[m] = pivot 在分区后就被排序好了
quickSort(a, m+1, high); // 然后将右子阵列排序
}
}