1566: [NOI2009]管道取珠

Description

Input

第一行包含两个整数n, m，分别表示上下两个管道中球的数目。 第二行为一个AB字符串，长度为n，表示上管道中从左到右球的类型。其中A表示浅色球，B表示深色球。 第三行为一个AB字符串，长度为m，表示下管道中的情形。

Output

仅包含一行，即为 Sigma(Ai^2) i从1到k 除以1024523的余数。

Sample Input

2 1

AB

B

Sample Output

5

HINT

样例即为文中(图3)。共有两种不同的输出序列形式，序列BAB有1种产生方式，而序列BBA有2种产生方式，因此答案为5。 【大致数据规模】 约30%的数据满足 n, m ≤ 12； 约100%的数据满足n, m ≤ 500。

Source

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       不得不说，这题是一道思维上的好题。

       一眼看到$\sum_{i=1}^{k}$$a$_$i$^$2$简直懵逼了，这什么玩意儿啊，难道要把每个$a$_$i$都求出来吗？其实，我们稍稍转化便可发现，这题要求的答案就是两个人分别取，取出来的序列相同的方案总数。

       我们考虑动态规划，$dp[k][i][j]$表示两个人都取了$k$颗珠子，第一个人在上方水管中取了$i$颗，第二个人在上方水管中取了$j$颗的得到的序列相同的方案总数。那么转移方程就显而易见了， $$a[i-1]=a[j-1] \Rightarrow dp[k][i][j]=dp[k][i][j]+dp[k-1][i-1][j-1]$$ $$a[i-1]=b[k-j-1] \Rightarrow dp[k][i][j]=dp[k][i][j]+dp[k-1][i-1][j]$$ $$b[k-i-1]=a[j-1] \Rightarrow dp[k][i][j]=dp[k][i][j]+dp[k-1][i][j-1]$$ $$b[k-i-1]=b[k-j-1] \Rightarrow dp[k][i][j]=dp[k][i][j]+dp[k-1][i][j]$$ ，最终结果为 $$dp[n+m][n][n]$$ ，时间复杂度$O((n+m)·n$^$2$$)$，再控制一下状态的上下界程序可以跑得飞快。（注意滚动数组！！！）

       附上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
char a[510],b[510];
int dp[2][510][510];
const int md=1024523;
void add(int &x,int y)
{
    x+=y;
    if(x>=md)x-=md;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%s%s",a,b);
    reverse(a,a+n);
    reverse(b,b+m);
    dp[0][0][0]=1;
    for(int k=1;k<=n+m;k++)
    {
        int t=k&1;
        for(int i=max(0,k-m);i<=min(n,k);i++)
        {
            for(int j=max(0,k-m);j<=min(n,k);j++)dp[t][i][j]=0;
        }
        for(int i=max(0,k-m);i<=min(n,k);i++)
        {
            for(int j=max(0,k-m);j<=min(n,k);j++)
            {
                if(i && j && a[i-1]==a[j-1])add(dp[t][i][j],dp[t^1][i-1][j-1]);
                if(i && k-j && a[i-1]==b[k-j-1])add(dp[t][i][j],dp[t^1][i-1][j]);
                if(k-i && j && b[k-i-1]==a[j-1])add(dp[t][i][j],dp[t^1][i][j-1]);
                if(k-i && k-j && b[k-i-1]==b[k-j-1])add(dp[t][i][j],dp[t^1][i][j]);
            }
        }
    }
    printf("%d",dp[(n+m)&1][n][n]);
    return 0;
}