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https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1566

Solution

下面增加一个定义：
「 $f[i][j]$ 生成的颜色序列」表示上管道前 $i$ 个珠子和下管道前 $j$ 个珠子移到输出管道生成的颜色序列。
想了一波，写完后发现和标解不一样
首先容易定义出一个状态：
$f[i][j]$ 表示上管道前 $i$ 个珠子和下管道 $j$ 个珠子组成的不同序列的方案数平方和。
边界显然 $f[0][0]=1$ 。
如果上管道的第 $i$ 个珠子与下管道的第 $j$ 个珠子异色，那么对于任一上管道前 $i-1$ 个珠子和下管道前 $j$ 个珠子生成的颜色序列 $X$ 和 上管道 $i$ 个珠子及下管道前 $j-1$ 个珠子生成的颜色序列 $Y$ ，都有 $X[i+j]\ne Y[i+j]$ ， $X$ 不可能与 $Y$ 相同。
这时转移：

$$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]$$
否则如果 $X=Y=R$ ， $f[i-1][j]$ 生成 $R$ 的方案数为 $x$ ， $f[i][j-1]$ 生成 $R$ 的方案数为 $y$ ，那么 $f[i][j]$ 生成 $R$ 的方案数应为 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ 而不是 $x^2+y^2$ 。
所以还要定义状态 $g[i][j][k]$ ，表示：
上管道的前 $i$ 个珠子和下管道的前 $j$ 个珠子生成的序列 $S$ ，以及上管道的前 $k$ 个珠子和下管道的前 $h=i+j-k$ 个珠子生成的序列 $T$ ，对于所有 $S=T$ ， $f[i][j]$ 生成 $S$ 的方案数乘以 $f[k][h]$ 生成 $T$ 的方案数之和。
$$g[0][0][0]=1$$
先从 $g[i-1][j][k-1]$ 转移讨论：
如果上管道第 $i$ 个珠子和第 $k$ 个珠子不同色，那么 $f[i][j]$ 和 $f[k][h]$ 不可能用这种方式生成相同的颜色序列。
根据
$$(x+y)(a+b)=ax+bx+ay+by$$
我们可以把状态定义中的乘积进行拆分，拆分成 $4$ 个乘积的和。
也就是说，设 $q[i][j][S]$ 表示 $f[i][j]$ 生成 $S$ 的方案数， 那么显然有：
$$q[i][j][S]=q[i-1][j][S-上管道[i]](如果上管道[i]=S[i+j])$$ $$+q[i][j-1][S-下管道[i]](如果下管道[j]=S[i+j])$$
于是转移也就得出了：
$$g[i][j][k]+=g[i-1][j][k-1]$$
（如果上管道第 $i$ 个珠子和第 $k$ 个珠子同色）
$$g[i][j][k]+=g[i][j-1][k-1]$$
（如果下管道第 $j$ 个珠子和上管道第 $k$ 个珠子同色）
$$g[i][j][k]+=g[i-1][j][k]$$
（如果上管道第 $i$ 个珠子和下管道第 $h$ 个珠子同色）
$$g[i][j][k]+=g[i][j-1][k]$$
（如果下管道第 $j$ 个珠子和第 $h$ 个珠子同色）
回到 $上[i]=下[j]$ 时 $f[i][j]$ 的转移：
$$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]+g[i-1][j][i]\times 2$$
最后结果：
$$f[n][m]$$
注意滚动。

Code

// luogu-judger-enable-o2
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
using namespace std;
const int N = 505, ZZQ = 1024523;
int n, m, g[2][N][N], f[N][N];
char s[N], t[N];
int main() {
    int i, j, k;
    cin >> n >> m;
    scanf("%s%s", s + 1, t + 1);
    For (i, 0, n) For (j, 0, m) {
        int o = i & 1;
        For (k, 0, min(n, i + j)) {
            if (!i && !j && !k) {g[o][j][k] = 1; continue;}
            g[o][j][k] = 0; int h = i + j - k;
            if (i && k && s[i] == s[k]) g[o][j][k] += g[o ^ 1][j][k - 1];
            if (j && k && t[j] == s[k]) g[o][j][k] += g[o][j - 1][k - 1];
            if (i && h && s[i] == t[h]) g[o][j][k] += g[o ^  1][j][k];
            if (j && h && t[j] == t[h]) g[o][j][k] += g[o][j - 1][k];
            g[o][j][k] %= ZZQ;
        }
        if (!i && !j) f[i][j] = 1;
        else {
            f[i][j] = 0;
            if (i) f[i][j] += f[i - 1][j];
            if (j) f[i][j] += f[i][j - 1];
            if (s[i] == t[j]) f[i][j] += g[o ^ 1][j][i] << 1;
            f[i][j] %= ZZQ;
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}