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先来描述一下问题.对于系数为属于 $\Bbb{C}$,而非常数的多项式
$P(z)=\sum_{j=0}^{n}\left(a_{j} z^{j}\right)=a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\cdots+a_{n-1} z^{n-1}+a_{n} z^{n}$

那么 $p(z)$含有n个根,且属于 $\Bbb{C}$.也就是说有n个 $z_i$使得 $p(z_i)=0$

note

先来明确一点,constant
polynomial的定义.当 $z^k,k\geqslant 1$的系数都为0的时候,这个多项式就为constant
polynomial.而constant polynomial实际上就是只剩常数的多项式,比如

$p(z)=a_{0}+0\cdot z+0\cdot z^{2}+\cdots+0\cdot z^{n-1}+0\cdot z^{n}$

如果,那么 $p(z)=a_{0}+0\cdot z+0\cdot z^{2}+\cdots+0\cdot z^{n-1}+0\cdot z^{n}$有哪些根呢?假如 $p(z)=a_{0}+0\cdot z+0\cdot z^{2}+\cdots+0\cdot z^{n-1}+0\cdot z^{n}\neq 0$,
那么 $z$取多少的值可以满足 $p(z)=a_{0}+0\cdot z+0\cdot z^{2}+\cdots+0\cdot z^{n-1}+0\cdot z^{n}=0$呢?很明显是0.没有任何的 $z$可以满足这一点.但是如果 $p(z)=a_{0}+0\cdot z+0\cdot z^{2}+\cdots+0\cdot z^{n-1}+0\cdot z^{n}=0$,那么什么样的 $z$可以满足这一点呢?很明显所有的 $z$都可以满足这一点儿.

归纳法

归纳法中有一点是前提条件.也就是对于非常数的多项式.一定会有一个根 $\in \Bbb{C}$.这个命题是叫做
fundamental theorem of algebra.另外一个需要用到的东西是factor
theorem.有了这个命题我们就很容易证明原命题了.

1. 当k=1时, $p(z)=a_1z+a_0,a_1\neq 0$ 含有一个根 $z=-\frac{a_0}{a_1}$

2. 假设k=n-1时, $p(z)=a_{k}z^k+a_{k-1}z^{k-1}+\cdots + a_0$有n-1个根.

3. 有对于k=n,按照 fundamental theorem of
   algebra,我们可以断言 $p(z)$含有一个根 $z_{\lambda}$,我们可以根据factor
   theorem来将 $p(z)$改写为 $p(z)=(z-z_{\lambda})g(z)$
   其中 $g(z)$是一个 $n-1$次的多项式.我们知道 $g(z)$含有n-1个根.那么 $p(z)$就一定含有n个根.

可见原式得证.