今天和孟戈小可爱一起探讨了一下关于矩阵连乘的问题,具体如下:
问题:给定n个矩阵:A1,A2,...,An,其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2...,n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模,输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。
分析:由于矩阵乘法满足结合律,故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定,也就是说该连乘积已完全加括号,则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为:
(1)单个矩阵是完全加括号的;
(2)矩阵连乘积A是完全加括号的,则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号,即A=(BC)
例如,矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式:(A1(A2(A3A4))),(A1((A2A3)A4)),((A1A2)(A3A4)),((A1(A2A3))A4),(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序,这决定着作乘积所需要的计算量。
分析:由于矩阵乘法满足结合律,故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定,也就是说该连乘积已完全加括号,则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为:
(1)单个矩阵是完全加括号的;
(2)矩阵连乘积A是完全加括号的,则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号,即A=(BC)
例如,矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式:(A1(A2(A3A4))),(A1((A2A3)A4)),((A1A2)(A3A4)),((A1(A2A3))A4),(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序,这决定着作乘积所需要的计算量。
矩阵A和矩阵B可乘的条件是矩阵A的列数等在于矩阵B的行数。若A是一个P*Q的矩阵,B是一个Q*R的矩阵,则其乘积C=A*B
是一个P*R的矩阵,上述计算C的标准算法中,主要就是你量在三重循环,总共需要P*Q*R次数乘。
具体算法程序如下:
具体算法程序如下:
#include <iostream> using namespace std; const int L = 7; int Matrix(int *p,int n,int **m,int **s);//计算最优值 void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解 int main() { int p[L]={30,35,15,5,10,20,25}; int **s = new int *[L]; int **m = new int *[L]; for(int i=0;i<L;i++) { s[i] = new int[L]; m[i] = new int[L]; } cout<<"矩阵的最少计算次数为:"<<Matrix(p,6,m,s)<<endl; cout<<"矩阵最优计算次序为:"<<endl; Traceback(1,6,s); return 0; } int Matrix(int *p,int n,int **m,int **s) { for(int i=1; i<=n; i++)//整个矩阵的对角线全部赋值0 { m[i][i] = 0; } for(int r=2; r<=n; r++) //r个矩阵连乘 { for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//行循环 { int j = i+r-1;//循环结束时的末位置最后一个矩阵的坐标 m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];//将链ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] ),i此处i相当于k s[i][j] = i; for(int k=i+1; k<j; k++) { //从i+1开始到j结束循环查找最小值 int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]; if(t<m[i][j])//最小值比较 { m[i][j] = t; s[i][j] = k; } } } } return m[1][L-1];//矩阵右上角的值即为最优解 } void Traceback(int i,int j,int **s) { if(i==j) return; Traceback(i,s[i][j],s); Traceback(s[i][j]+1,j,s); cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j]; cout<<" and A"<<(s[i][j]+1)<<","<<j<<endl; }
运行结果如下: