摘要

①B-L模型核心思想:使用贝叶斯方法将投资者的主观观点和市场均衡收益( 先验收益)相结合，从而形成一个期望收益的估计值(后验收益),这个新形成的收益向量被看成投资者观点和市场均衡收益的复杂的加权平均。均衡收益是以市场中性为出发点来估计一系列的超额收益。如果投资者没有特别的观点，那么就可以用这些市场均衡的收益估计值，如果投资者对某些资产有特别的观点，那么就可以根据观点的信心水平来调整均衡收益，从而来影响投资组合配置。
②B-L模型在均衡收益基础上通过投资者观点修正了期望收益，使得马克维兹组合优化中的期望收益更为合理，而且还将投资者观点融入进了模型，在一定程度.上是对马克维兹组合理论的改进。
③B-L模型中的资产收益有两个特点:一是以本国货币计价，二是超额收益，即减去本国货币的无风险利率

正文

1. B-L模型的核心思想


B-L模型最后新形成的后验收益为：
$E[R]=[(\tau\Sigma)^{-1}+P'\Omega^{-1} P]^{-1}[(\tau\Sigma)^{-1}\Pi+P'\Omega^{-1} Q]$

$\begin{array}{lcl} E[R]_{n\times1}:新(后验)收益向量\\ \tau：标量\\ \Sigma_{n\times n}：n个资产收益的协方差矩阵\\ \Pi_{n\times1}：隐含市场均衡收益向量\\ P_{k\times n}：投资者的观点矩阵\\ Q_{k\times1}：观点收益向量\\ \Omega_{k\times k}：观点误差的协方差矩阵，为对角阵，表示每个观点的信心水平\\ n：表示资产数量\\ k：表示投资者观点数量，且k≤n \end{array}$
当资产的期望收益为已知值时，根据Markowitz ( 1952)收益-方差最优化方法，可以求得最优的资产配置组合权重(无约束)。
$\underset{w}{max}\,w'\mu-\frac{\lambda}{2}w'\Sigma w$
$\Rightarrow$
$w=(\lambda\Sigma)^{-1}\mu$

其中， $w$是组合权重， $\mu$是资产的期望收益， $\Sigma$是期望收益的协方差， $\lambda$是风险厌恶系数。

当 $\mu=E[R]$时，得到无约束条件下的新的资产组合权重向量：
$w^*=w_{mkt}+P'(\frac{\Omega}{\tau}+P\Omega P')^{-1}(\frac{Q}{\lambda}-P\Sigma w_{kmt})$

B-L模型的整个过程可以分解为：

2.B-L模型参数估计
在B-L模型中，风险厌恶系数 $\lambda=(E(r)-r_f)/\sigma^2_m$，其中 $E(r)$是期望市场收益率， $r_f$是无风险利率， $\sigma^2_m$是市场收益方差；
$w_{mkt}$是各资产的市值权重，也就是市场流通市值权重，协方差矩阵 $\Omega$一般是用历史收益求得。

B-L模型中的资产收益有两个特点：一是以本国货币计价，二是超额收益，即减去本国货币的无风险利率。因此协方差矩阵 $\Sigma$是超额收益的协方差矩阵， $\Pi$是先验均衡超额收益，对于观点收益向量 $Q$和后验收益 $E[R]$，也应是超额收益。
Black and Litterman(1992)的文献主要呈现了全球资产配置的实证结果（股票、债券、货币），没有给出一些参数的详细设法，比如观点矩阵 $\Omega$，标量 $\tau$等。对于观点 $P$矩阵，投资者可以不发表观点，也不需要对所有资产发表观点。如果是不强烈的观点，量化时降低观点收益后进入收益向量 $Q$（就是说可能这个初始的模型没有将研究者信心信息纳入考虑，那么这个时候就可以通过降低设定的收益率来对信心参数进行平衡。比如说，我可能认为A股票会涨10%，但是我的把握比较小，那么我可以降低收益率为6%，将其纳入 $Q$向量）。

2.1 隐含均衡收益向量( $\Pi$)
隐含均衡收益可以看成是市场均衡时的收益，Black and Litterman (1992)在进
行全球资产配置时证明了用以下方法来估计均衡收益都有缺陷，理由如下:
(1)历史平均超额收益(Historical Averages)。 问题:非中性，因为高配过去
高收益的资产和低配过去低收益的资产。
(2)不同市场某个资产的超额收益的均值(Equal Means)。 问题:忽略了不同
市场的不同风险水平。
(3)风险调整后的不同市场某个资产的超额收益的均值(Risk- Adjusted Equal
Means).假设不同资产具有相同单位风险上的超额收益(比如债券和股票具
有相同单位风险上的超额收益)，风险用波动性衡量。问题:没有考虑这些
资产之间的相关性。

根据CAPM模型,资本市场均衡是资产按市场组合权重配置,按Markowitz收益-方差最优化过程，资产组合权重为市场权重，来进行逆优化，就可以求得隐含均衡收益。

正优化：
$\underset{w}{max}\,w'\mu-\frac{\lambda}{2}w'\Sigma w$

$\Rightarrow$
$w=(\lambda\Sigma)^{-1}\mu$
逆优化：
$\underset{w}{max}\,w'\mu-\frac{\lambda}{2}w'\Sigma w\\ \Pi=\mu=\lambda\Sigma w=\lambda\Sigma w_{mkt}$

扫描二维码关注公众号，回复： 9635868 查看本文章

Adzorek (2002)对上述方法求均衡收益(我们称作隐含均衡收益)与其他方法进行了比较，他利用三种方法对道琼斯工业平均指数的30只股票收益进行估计，分别采用历史、CAPM和隐含均衡收益，其中基于CAPM的估计采用60个月 $\beta$、5%的无风险利率(近似于2001 年末的十年期国债收益率)和7.5%的市场风险溢价。
结果表明，历史收益有更大的标准差，而后两者(CAPM和隐含均衡收益)估计所得的收益十分接近，相关性达0.85。 用三种估计收益求组合权重( $(\lambda\Sigma)^{-1}\Pi$)，所得结果差距较大，历史收益的组合权重对市值权重偏离最大，均衡收益所得权重即市值权重，而用CAPM收益所求得的权重和市值权重的相关性仅为0.18。
Adzorek(2002)认为，在没有主观观点的前提下，均衡收益应是市场中性立场
的收益。所以应使用市值逆优化方法所得的隐含均衡收益 $\Pi$。

2.2 标量( $\tau$)
$\tau$是给均衡收益的方差设定的刻度值，作为先验收益的均衡收益，服从分布 $N\sim(\Pi,\tau\Sigma)$， $\tau$值越大，表明均衡收益的方差越大。
B-L模型可以看作是市场均衡收益和投资者观点的复杂加权平均，那么当先验的均衡收益方差越大时，其所占权重也就越小，而投资者观点权重则越大，因此 $\tau$也被看成是观点权重(Weight on Views)。对于 $\tau$值，不同的文献有着大相径庭的观点。

2.3 误差观点矩阵( $\Omega$)
投资者观点收益服从 $N(Q,\Omega)$， $\Omega$衡量投资者观点的误差，误差越大， $\Omega$中对应的值越大，反之越小。观点误差得 $k\times k$维的协方差矩阵，为对角矩阵，这表明不同的观点之间相互独立。

另外一种对 $\Omega$的解释，Adzorek (2002)提到，在观点收益中，具有一个随机的、独立的、且服从均值为0的正态分布的残差项 $ε$， $ε$服从分布 $N(0,\Omega)$，每个观点收益都具有 $Q+ε$的形式。
$Q+ε=\begin{bmatrix}Q_1\\Q_2\\\vdots\\Q_k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}ε_1\\ε_2\\\vdots\\ε_k\end{bmatrix}$

事实上，观点矩阵和后验收益之间存在如下的关系( Black and Ltterman (1992)、Adzorek (2002) ) :
$\begin{bmatrix}P_{1,1}&\cdots&P_{1,n}\\\vdots&\cdots&\vdots\\P_{k,1}&\cdots&P_{k,n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E[R_1]\\\vdots\\E[R_n]\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}ε_1\\\vdots\\ε_k\end{bmatrix}$

当有2个或以上观点时，残差项 $ε$不直接进入模型，取而代之的则是观点误差
矩阵 $\Omega(kxk)$。假设各个观点间相互独立，则 $\Omega$为对角阵(Black and Litterman(1992)、Adzorek (2002))。每个观点的误差越大，观点的不确定性也越大。

2.4 其他参数
对于风险厌恶系数 $\lambda$，Black and Ltterman (1992)指出该值和Black (1989)定义的一致。He and Litterman (1999)认为， $\lambda$表示世界风险容忍度。Satchell and Scowcroft (2000)和Best and Grauer (1985)设定 $\lambda=(E(r)-r_f)/σ^2_m$
Adzorek (2002)用 两种方法求 $\lambda$: (1) 给定市场风险溢价(7.5%)，用5年DJIA指数历史标准差(18.25%)求得 $\lambda$为2.25; (2)给定市场风险溢价(7.5%)，用成份股历史协方差矩阵 $\Sigma$得来的标准差( 19.12%)( $σ^2_m=w'\Sigma w$),求得 $\lambda$为2.05.两者结果不一样，是因为DJIA的成份股在5年内有所变动。

当对观点矩阵 $P$进行设定时，看多的多个资产间如何分配权重，有两种方法，一是等权重分配，例如Satchell and Scowcroft (2000);二是根据相对市值分配(将某一看多资产市值除以看多资产总市值)，例如He and Litterman (1999)。
Adzorek (2002)在进行对比后认为，按相对市值分配更为合理，因为考虑了资
产的市值大小。但是两种分配方法并不是最优，因为产生的组合并没有使给定风险的收益最大化，因此可用最大化信息比率等方法来改进观点资产的权重分配。

3. 业绩与风险衡量
Black and Ltterman (1992)指出，需要对**基准(Benchmarks)**提高重视。这点在资产配置时经常被忽视。基准是衡量风险的起点，也就是说它意味着最小风险的组合(Minimum-risk Portfolio)。大部分时候，风险用组合超额收益的波动性表示，或是定义为组合100%投资于国内短期利率存款。很多组合经理使用市场组合作为基准。当明确的基准存在时，合适的风险衡量就是组合对于基准的跟踪误差的波动性。当目标组合表现不是那么明确时，资产配置决策会更困难。
当基准不明确时，可用两种方法构建基准组合，一是使用超额收益的波动性
作为衡量风险的指标，另一种是定义一种“标准组合(Normal Portfolio)”,代表不带任何投资者观点的组合。均衡模型可以帮助来设计这种标准组合。Black and Litterman(1992)在做全球资产配置时认为，市场组合加上80%货币套保则是理想的均衡组合，具有5.7%的预期超额收益和10.7%的波动率。