一、题目描述

The Fibonacci numbers, commonly denoted F(n) form a sequence, called the Fibonacci sequence, 
such that each number is the sum of the two preceding ones, starting from 0 and 1. That is,

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), for N > 1.
Given N, calculate F(N).

Input: 2
Output: 1
Explanation: F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.

二、题解

方法一：递归

• 如果 N 等于 1 或等于 2，则返回 1。
• 否则，通过 $F_n =F_{n−1} +F_{n−2}$ 调用自身求解问题。

public int fib(int N) {
//    if (N == 0) return 0;
//    if (N == 1) return 1;
  if (N == 1 || N == 2) return 1;
  return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(2^n)$，整体算法复杂度就是子问题个数乘以解决一个子问题需要的时间。子问题个数，即递归树中的节点总数。
  • 例如： $f(1) + f(2)$ 就是一个加法操作，时间为 O(1)，但整颗递归树为一棵完全二叉树。
• 空间复杂度： $O(n)$，栈空间随 N 增加而不断增长。

方法二：记忆化递归（自顶向下）

通过观察递归树可以发现暴力递归存在大量重复计算，这是导致算法低效的原因。如何解决？ 既然有那么多重复计算，不如把这些重复计算的结果先记住，留给后面的的递归使用。

int[] memo = null;
public int fib(int N) {
  memo = new int[N + 1];
  return search(N);
}
private int search(int N) {
  if (N == 1 || N == 2) 
    return 1;
  if (memo[N] == 0)
    memo[N] =  search(N - 1) + search(N - 2);
  return memo[N];
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(N)$，我们不再进行重复计算。
• 空间复杂度： $O(N)$，使用了空间大小为 N 的数组。

方法三：动态规划（自底向上）

上面的记忆化搜索叫做「自顶向下」，动态规划叫做「自底向上」。

啥叫「自顶向下」？注意我们刚才画的递归树，都是从上向下延伸，从一个规模较大的原问题向规模较小的子问题递归。

• 比如说 f(20)，向下逐渐分解规模，直到 f(1) 和 f(2) ，然后逐层返回答案，这就叫「自顶向下」

啥叫「自底向上」？反过来，我们直接从最底下，最简单，问题规模最小的 f(1) 和 f(2) 开始往上推，直到推到我们想要的答案 f(20)，这就是动态规划的思路。这也是为什么动态规划一般都脱离递归，使用迭代完成计算。

啥叫「状态转移方程」？我们知道动态规划一般都会有一个描述问题结构的数学形式，这个状态转移就是这个数学方程的不同表现形式罢了。

public int fib2(int N) {
  if (N <= 1) return N;
  
  int[] memo  = new int[N + 1];
  memo[1] = memo[2] = 1;

  for (int i = 3; i <= N; i++) {
    memo[i] = memo[i - 1] + memo[i - 2];
  }
  return memo[N];
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(N)$，
• 空间复杂度： $O(N)$，

方法四：dp（空间压缩）

其实我们不需要大小为 N 的 memo 数组来存储所有的状态，只需存储某个状态之前的两个状态即可。

public int fib3(int N) {
  if (N <= 1) return N;
  if (N == 2) return 1;
  
  int curr = 0;
  int pre1 = 1;
  int pre2 = 1;

  for (int i = 3; i <= N; i++) {
    curr = pre1 + pre2;
    pre2 = pre1;
    pre1 = curr;
  }
  return curr;
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(N)$，
• 空间复杂度： $O(1)$，

结语：这里好像没有展示动态规划的另一个重要特性 「最优子结构」，斐波那契数列的例子严格来说不算动态规划，因为没有涉及求最值的环节。