数塔
在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：
有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？
已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?
Input
输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。
Output
对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。
Sample Input
1
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5Sample Output
30
题目链接：
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2084
总结：
1.递归
dp(i,j)来表示第i行第j列的数字走到最后一行的最大和，a[i][j]表示输入的二维数组，本题从a[i][j]开始，下一步只能a[i+1][j]或者a[i+1][j+1],此时dp(i,j)就是dp(i+1,j)+a[i][j]或者dp(i+1,j+1)+a[i][j],所以想知道往哪里走，就要知道dp(i+1,j)和dp(i+1,j+1)谁大，那个值更大，就向对应的位置走。
附源代码（TLE）：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[105][105];
int n;
int dp(int i,int j)
{
if(i==n)
return a[i][j];
if(dp(i+1,j)>=dp(i+1,j+1))
return dp(i+1,j)+a[i][j];
else
return dp(i+1,j+1)+a[i][j];
}
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
printf("%d\n",dp(1,1));
}
return 0;
}
如果运行代码，你就会发现当n的值很大的时候，程序就已经很慢了，这是因为每次计算dp(i,j)时，dp(i+1,j)和dp(i+1,j+1)都要被计算一次dp(1,1)被计算一次，从第2行开始每个位置被计算的次数就是
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
次数：dp(i,j)=dp(i-1,j)+dp(i-1,j-1)
上面可以得到从第1行开始每行的计算次数一次为1 2 4 8 16，总的计算次数2^0+2^1+...+2^n=2^n-1,由此可以看出上述方法的时间复杂度为O（2^n）
2.记忆化数组
根据上述分析，用一中的方法去做这个题的话，结果肯定是TLE哇。那么有没有办法优化呢？能不能降低1中的计算次数呢？
我们可以将dp(i,j)计算的结果保存在一个二维数组b[i][j]，那么下次用的时候是不是就可以直接从数组中拿来用啦，这个dp(i,j)只需要计算一次，我们就可以完成计算了。开始讲二维数组中的数全部初始化为0，表示对应的位置还没有被计算过。没有计算过就将计算保存在数组中（此时要计算的是b[i+1][j+1],b[i+1][j]的结果,因为b[i][j]是由他们当中最大的那个值决定的）。
附源代码（TLE）：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[105][105];
int b[105][105];
int n;
int dp(int i,int j)
{
if(i==n)
return a[i][j];
if(b[i+1][j]==0)
b[i+1][j]=dp(i+1,j);
if(b[i+1][j+1]==0)
b[i+1][j+1]=dp(i+1,j+1);
if(b[i+1][j]>=b[i+1][j+1])
return b[i+1][j]+a[i][j];
else
return b[i+1][j+1]+a[i][j];
}
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
memset(b,0,sizeof(b));
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
printf("%d\n",dp(1,1));
}
return 0;
}
由于每个位置只用计算一次，所以计算总次数：1+2+3+...+n=n*(n+1)/2，时间复杂度：O(n^2)
3.DP
递归的问题有的时候可以转换成递推的问题来做。从dp[i][j]逐步向上递推，结合2中方法，每个位置对应的已知结果已经保存在二维数组dp[i][j]中，相当于打表，已知二维数组的边界都是0，有递推公式：
dp[i][j]取决于它下面和它右下方的元素决定。
附源代码（AC）：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[105][105];
int dp[105][105];
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n;
scanf("%d",&n);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(int i=n;i>=1;i--)
for(int j=1;j<=i;j++)
dp[i][j]=max(dp[i+1][j]+a[i][j],dp[i+1][j+1]+a[i][j]);
printf("%d\n",dp[1][1]);
}
return 0;
}
时间复杂度：O(n^2)
4.DP(优化)
由递推公式可知，dp[i][j]用来计算过dp[i-1][j]后就用不到了，所以可以将计算出来的dp[i-1][j]存在dp[i-1][j]的位置上。
dp[i-1][1]<----dp[i][1]
dp[i-1][2]<----dp[i][2]
dp[i-1][3]<----dp[i][3]
......
dp[i-1][j]<----dp[i][j]
所以dp[1][1]可以存放在dp[i][1]的位置上。综上：一维数组dp就可以解决问题了。
附源代码(AC)：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[105][105];
int dp[105];
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n;
scanf("%d",&n);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(int i=n;i>=1;i--)
for(int j=1;j<=i;j++)
dp[j]=max(dp[j]+a[i][j],dp[j+1]+a[i][j]);
printf("%d\n",dp[1]);
}
return 0;
}
时间复杂度：O(n^2)
自下而上：下面计算的结果一定能被上面用到。