多重背包也是 0/1背包的一个变式。与 0/1 背包的区别在于每种物品 有 个,而非 个。1
在本章中讲介绍多重背包的两种方式:
- 第1种,直接转换成0/1背包。对应例题:luogu2347 砝码称重
- 第2种,二进制拆分后,转换成0/1背包。对应例题:luogu1776 宝物筛选
第1种,直接转换成0/1背包
从定义来看,多重背包与0/1背包的区别仅仅是每种物品变成了 个,我们可以将一种物品的 个拆成 种物品的一个,就转换成了0/1背包。
对应luogu2347 砝码称重的代码:
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e3+10;
int dp[N][N];
int n;
int a[N];
const int way[]={1,2,3,5,10,20};
int main(){
n=0;
for (int i=0;i<6;i++){
int x;scanf("%d",&x);
for (int j=0;j<x;j++){
n++;a[n]=way[i];
}
}
dp[0][0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++){
for (int j=0;j<=1000;j++){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if (j>=a[i]) dp[i][j] |= dp[i-1][j-a[i]];
}
}
int ans=0;
for (int i=1;i<=1000;i++){
ans += dp[n][i];
}
printf("Total=%d\n",ans);
return 0;
}
第2种,二进制拆分后,转换成0/1背包
在第 种做法中,若 很大( ,拆分后的物品种数将非常大,直接导致空间复杂度太大(时间复杂度也太大)。一种合适的做法是将 进行二进制拆分,如 , 将 拆成 ,最后多出来的部分(设 ,这里为 )单独成一种物品。
说明为何二进制拆分和第1种是等价的,因为前面的二进制部分( )是可以完全表示区间 内的所有数的。因此,二进制拆分可以表示的区间为下面两种情况:
- 没有选择多出来的部分 ,可表示的范围是 ,
- 选择多出来的部分 , 可表示的范围是 。
两部分取并集 ,可表示的范围是包括 以内的所有数。
对应luogu1776 宝物筛选的代码(使用了一维0/1背包,感谢hyy贡献代码):
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_N = 2e5;
const int MAX_M = 4e4+9;
struct NN{
int value;
int weight;
};
NN List[MAX_N];
int f[MAX_M];
int id;
int n,W;
int v,w,m;
int main(){
cin >> n >> W;
for(int i=1;i<=n;i++){
int c=1;
cin >> v >> w >> m;
while(m-c>=0){
id++;
List[id].value=c*v;
List[id].weight=c*w;
m-=c;
c*=2;
}
if(m>0){
id++;
List[id].value=m*v;
List[id].weight=m*w;
}
}
for(int i=1;i<=id;i++){
for(int j=W;j>=List[i].weight;j--){
f[j]=max(f[j],f[j-List[i].weight]+List[i].value);
}
}
cout << f[W];
return 0;
}