m 维空间中任意 m 个向量的向量组 V=(v1,⋯,vm) 如何判断其是否为基,这些线性代数一个核心问题。可以从几何和代数两个方面考虑。
几何上,向量组张成整个空间,所以能张成整个空间的向量组就是基。具体判断(或想象,因为三维以上空间只能想象)如下,向量组有 m 个向量,可以向一个空集每次只增加一个向量,集合每增加一个向量后,判断集合内向量组是否能张成“完整”子空间,如果不能,则不是基。比如第一个向量肯定可以张成完整的一维子空间(直线);增加第二个向量时,如果该向量与第一个向量共线,则集合不能张成“完整”二维子空间(平面),则向量组不是基,判断结束。如果该向量与第一个向量不共线,则继续增加一个向量。第三个向量如与前两个共面,则集合不能张成“完整”三维子空间,则向量组不是基,判断结束。如不共面,则继续增加一个向量,依次进行,直到取完所有向量。只有当最后一个向量加入后,能张成“完整”空间,向量组才是基。
基按照上述方式看的话,每次增加的向量都不位于集合所处的子空间内,有“张角”, m 个向量完整地张开了整个空间,广义体积不为0!如果 m 个向量不是基,则必有某个向量“躺在”集合所处的子空间内,不能完整地张开整个空间,广义体积为0。 这种几何图像对后面理解矩阵可逆和行列式非常关键!
这种方法只适合二维空间,三维空间必须借助计算机辅助绘图,才能观察到,但思想很重要。
代数上,通过判断向量组表示 0 向量时,是否只有唯一全0表示,如果是,则是基,否则非基。这最后会归结于求线性方程的零解。 m 维空间向量相等需每个分量相等,每个分量可得到一个方程,m 个分量得到 m 个方程。m 个向量,所以表示系数有 m 个,是 m 元方程。低元方程可用初中学过的变量代入消元法求解,高元方程用高斯消元法求解,后面有专门章节介绍。代数法的好处是可以判断任意维度空间的向量组是否为基,代数是工具。线性代数很多问题最后都要归结于计算问题,计算只是工具,几何才是灵魂。
m 维空间中 m 个向量的向量组 V=(v1,⋯,vm) ,其线性组合表示 0 向量为 0=α1v1+⋯+αmvm 这时必须把向量拆开,看到每个分量才能解方程。令 vi=(Vi1,⋯,Vij,⋯,Vim) ,即第 j 个分量为 Vij 。根据向量数乘、加法和相等规则,可得 α1V11+⋯+αiVi1+⋯+αmVm1=0α1V12+⋯+αiVi2+⋯+αmVm2=0⋮α1V1m+⋯+αiVim+⋯+αmVmm=0 m 个方程 m 个未知数。注意与未知数 αi 相乘的系数只有向量 vi 的分量。