重要特例

$A_{mn}$ ， $B_{np}$ 两个矩阵相乘，当 $m,n,p$ 有的为 $1$ 时，是极其重要的特例，具有重要意义。

定义 列向量 列数为 $1$ 的矩阵，就是向量，记为 $\mathbf{v}$ 。

定义 行向量 行数为 $1$ 的矩阵，记为 $\mathbf{v^T}$ ， $\mathbf{v}$ 是个列向量。

为了不引起混乱，本书统一规定向量就是列向量。向量看作矩阵时，用 $\left[ \right]$ 围起数。行向量全部写为矩阵形式，数值排成一行，中间用空格隔开。列向量一般写为向量形式，用 $()$ 围起数，中间用 $，$ 隔开；写成矩阵形式时，数值排成一列。

例如，向量 $\mathbf{v}$ 是列向量 $\mathbf{v} = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right]=(1,2,3)$ ，行向量 $\mathbf{v^T} = \left[1 \quad 2 \quad 3\right]$ 。行向量是列向量逆时针旋转90度，列向量是行向量顺时针旋转90度，所以 $\mathbf{(v^{T})^T} = \mathbf{v}$ ，一定要搞清楚行向量符号的意义和书写规范。

行向量是 $1$ 维空间中 $n$ 个向量，列向量是 $m$ 维空间中 $1$ 个向量，这是最本质的区别。写法只是形式上的。

行列向量都是矩阵，只要满足形状要求，就可以相乘。

1. $p=1$ 时，矩阵 $B$ 是列向量，矩阵相乘就是矩阵乘以向量， 记为 $A\mathbf{x}$ 。
2. $m=p=1$ 时，矩阵 $A$ 是行向量，矩阵 $B$ 是列向量，矩阵乘法就是矩阵 $A$ 的 $1$ 维空间中 $n$ 个向量的线性组合，例如 $A=\left[1 \quad 2 \quad 3\right]$ 和 $B=\left[ \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} \right]$ ， $AB=\left[1*4 + 2*5 + 3*6\right]=\left[ 32\right]=32$ ， $AB$ 是两个向量的内积！用行列向量记为 $\mathbf{v^T}\mathbf{u} = (\mathbf{v}, \mathbf{u})= (\mathbf{u},\mathbf{v})= \mathbf{u^T}\mathbf{v}$ 。内积写为矩阵相乘，可以参与矩阵运算，后面章节，内积都写成矩阵相乘。
3. $m=1$ 时，矩阵 $A$ 是行向量，假设 $n=p=2$ ， $A=\left[a_1 \quad a_2\right]$ ， $B=\left[ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{matrix} \right]$ ，则 $AB = \left[a_1 \quad a_2\right]\left[ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a_1 b_{11}+a_2 b_{21} & a_1 b_{12} + a_2 b_{22} \end{matrix} \right]$ 。矩阵 $A$ 的第 $i$ 个分量与矩阵 $B$ 的第 $i$ 行向量数乘得到行向量，然后得到的 $n$ 个行向量相加，即 $AB$ 是矩阵 $B$ 行向量的线性组合，组合系数是矩阵 $A$ ！注意矩阵 $A$ 是行向量，不是列向量。用行向量记为 $\mathbf{v^T}B=\mathbf{u^T}$ ，结果是行向量。矩阵乘以向量是矩阵的列向量线性组合，行向量乘以矩阵是矩阵行向量的线性组合，对称的！可见矩阵的行向量也具有重要意义。
4. $n=1$ 时，矩阵 $A$ 是列向量，矩阵 $B$ 是行向量，乘积是矩阵，不是数，一定要与 $2$ 区分。例如 $A=\left[ \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} \right]$ ， $B=\left[2 \quad 3\right]$ ， $AB=\left[ \begin{matrix} 4*2 & 4*3\\ 5*2 & 5*3 \\ 6*2 & 6*3 \end{matrix} \right]$ 。用行列向量记为 $\mathbf{u}\mathbf{v^T}$ ，称为外积，一般来说 $\mathbf{u}\mathbf{v^T} \ne \mathbf{v}\mathbf{u^T}$ 。外积与内积相对，内积是行向量乘以列向量，外积是列向量乘以行向量，内积 $\mathbf{u^T}\mathbf{v}$ 的符号 $T$ 在内部，外积 $\mathbf{u}\mathbf{v^T}$ 的符号 $T$ 在外部，这就是内积外积名称的由来。