第一节 原函数与不定积分的概念

一、原函数与不定积分

设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 上的一个函数。如果 $F(x)$ 是区间 $I$ 上的可导函数，并且对任意的 $x \in I$ 均有 $F'(x) = f(x)$ 或 $dF(x) = f(x)dx$, 则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有原函数， 那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的全体原函数组成的函数族为函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分，记为 $\int f(x)dx$， 其中 $\int$ 称为积分号， $f(x)$ 称为被积函数， $f(x)dx$ 称为被积表达式， $x$ 称为积分变量。

原函数存在定理：如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，那么 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一定有原函数，即一定存在区间 $I$ 上的可到函数 $F(x)$，使得 $F(x) = f(x), x \in I$，即 连续函数必有原函数。

例题

1. $\int x ^ a dx$ $(a \neq -1)$
   $\int x ^ a dx = \cfrac {1}{a + 1} x ^ {a + 1} + C$，C 为任意常数。
2. $\int \cfrac 1 x dx$
   解：① $x \gt 0, \int \cfrac 1 x dx = \ln x + C$
   ② $x \lt 0, \int \cfrac 1 x dx = \ln {-x} + C$
   $\therefore \int \cfrac 1 x dx = \ln |x| + C$

二、基本积分公式

1. $\int 0dx = C$
2. $\int kdx = kx + C, k$ 为常数
3. $\int x ^ \mu dx = \cfrac {x ^ {\mu + 1}}{\mu + 1} + C(\mu \neq -1)$
4. $\int \cfrac 1 x dx = \ln |x| + C$
5. $\int \cfrac {dx} {1 + x ^ 2} = \arctan x + C$ 或 $\int \cfrac {1}{1 + x ^ 2}dx = - arccot x + C$
6. $\int \cfrac {dx} {\sqrt {1 - x ^ 2}} = \arcsin x + C$ 或 $\int \cfrac {1}{\sqrt {1 + x ^ 2}}dx = - arccos x + C$
7. $\int \cos x dx = \sin x + C$
8. $\int \sin x dx = - \cos x + C$
9. $\int \cfrac {dx}{\cos ^ 2 x} = \int \sec^2xdx = \tan x + C$
10. $\int \cfrac {dx}{\sin ^ 2 x} = \int \csc^2xdx = -\cot x + C$
11. $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$
12. $\int \csc x \cot x dx = - \csc x + C$
13. $\int a ^ xdx = \cfrac {a ^ x}{\ln a} + C$
14. $\int e ^ x dx = e ^ x + C$

三、不定积分的基本性质

线性性质。 设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分存在， $\alpha$ 和 $\beta$ 为两个常数，则 $\alpha f(x) + \beta g(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分存在， 且当 $\alpha$ 和 $\beta$ 不同时为 $0$ 时，
$\int [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha \int f(x) dx + \beta \int g(x) dx$

第二节 不定积分的换元法

一、第一换元法（凑微分）

设 $f(u)$ 具有原函数， $u = \varphi(x)$ 可导，则 $\int f(\varphi (x)) \varphi'(x)dx = (\int f(u)du)_{u = \varphi(x)}$ 成为不定积分的第一换元法。
又 $\int g(x)dx = \int f(\varphi (x))\varphi'(x)dx = \int f(\varphi(x))d\varphi(x) = (\int f(u)du)_{u = \varphi(x)}$。因此，第一换元法又称凑微分法。

例题

求不定积分 $\int \sin 3x dx$.
解：复合函数 $\sin 3x = \cfrac 1 3 \sin 3x (3x)'$
$\int \sin 3x dx = \cfrac 1 3 \int \sin 3x(3x)'dx = \cfrac 1 3 \int \sin 3xd(3x)$
令 $u = 3x, \cfrac 1 3 \int \sin 3xd(3x) = \cfrac 1 3 \int sin udu = \cfrac 1 3(-cos u) + C$
$\therefore \cfrac 1 3(-cos u) + C = - \cfrac 1 3 \cos 3x + C$

二、第二换元法（带根号）

设 $x = \varphi(x)$ 单调、可导，并且 $\varphi'(t) \neq 0$，又设 $f(\varphi (t))\varphi '(t)$ 具有原函数，则 $f(x)$ 具有原函数，且 $\int f(x)dx = (\int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt)|_{t = \varphi ^{-1}(x)}$ ，其中， $t = \varphi ^{-1}(x)$ 为 $t = \varphi(x)$ 的反函数。

基本积分公式

15. $\int \tan x dx = - \ln |\cos x| + C$
16. $\int \cot x dx = \ln |\sin x| + C$
17. $\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$
18. $\int \csc x dx = \ln |\csc x - \cot x| + C$
19. $\int \cfrac{dx}{a ^ 2 + x ^ 2} = - \cfrac 1 a \arctan \cfrac x a + C$
20. $\int \cfrac {dx}{x ^ 2 - a ^ 2} = \cfrac 1 {2a} \ln|\cfrac{x - a}{x + a}| + C$
21. $\int \cfrac{dx}{\sqrt {a ^ 2 - x ^ 2}} = \arcsin \cfrac x a + C$
22. $\int \cfrac{dx}{\sqrt {a ^ 2 + x ^ 2}} = \ln (x + \sqrt{x ^ 2 + a ^ 2}) + C$
23. $\int \cfrac {dx}{\sqrt{x ^ 2 - a ^ 2}} = \ln |x + \sqrt{x ^ 2 - a ^ 2}| + C$
24. $\int \sqrt{a ^ 2 - x ^ 2 dx} = - \cfrac x 2 \sqrt{a ^ 2 - x ^ 2} + \cfrac {a ^ 2}{2} \arcsin \cfrac x a + C$
25. $\int \sqrt{a ^ 2 + x ^ 2 dx} = \cfrac x 2 \sqrt{a ^ 2 + x ^ 2} + \cfrac {1}{a ^ 2} \ln(x + \sqrt{a ^ 2 + x ^ 2}) + C$
26. $\int \sqrt{x ^ 2 - a ^ 2 dx} = \cfrac x 2 \sqrt{x ^ 2 - a ^ 2} - \cfrac {1}{a ^ 2} \ln|x + \sqrt{x ^ 2 - a ^ 2}| + C$

例题

1. 求不定积分 $\int \cfrac 1 {1 + \sqrt x} dx$.
   解： 消去根式，令 $\sqrt x = t$，则 $x = t ^ 2, dx = 2tdt$.
   从而第二换元法有：
   $\int \cfrac 1 {1 + \sqrt x} dx = \int \cfrac {1}{ 1 + t} 2tdt =\int \cfrac{1 + t -1}{1 + t}dt = 2 (\int dt - \int \cfrac {dt}{1 + t}) = 2 (t - \ln(1 + t)) + C$
   $\because t = \sqrt x$
   $\therefore \int \cfrac 1 {1 + \sqrt x} dx = 2 (\sqrt x - \ln(1 + \sqrt x)) + C.$

常见变量替换

1. 简单无理替换： $x = (ct + d) ^ n,$ 则对应 $t = ^n\sqrt{ax + b}$
2. 三角代换： $\int \sqrt{a ^ 2 - x ^ 2}dx (a \gt 0), \int \cfrac {dx}{ \sqrt{a ^ 2 + x ^ 2}}(a > 0), \int \cfrac {dx}{\sqrt{x ^ 2 - a ^ 2}} (a \gt 0)$，分别做代换： $x = a \sin t, x = a \tan t, x = a \sec t$
3. 倒代换： $x = \cfrac 1 t$

第三节 分部积分法

分部积分法

设函数 $u = u(x)$ 和 $v = v(x)$ 在区间 $I$ 上有连续导数，则 $\int uv'dx = uv - fu'vdx$。
一般应怎样选取 $u$ 和 $v'$（或 $dv$）呢？通常有如下两个原则：

1. $v$要容易求得；
2. $\int vdu$ 要比 $\int udv$ 容易求得。

把被积函数视为两个函数之积，按 “反对幂指三” 顺序，前者 $u$， 后者 $v'$。
备注：反对幂指三 分别为： 反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数。

例题

1. 求 不定积分 $\int x ^ 2 \cos x dx$.
   解： $\int x ^ 2 \cos x dx$
   可以令 $u = x ^ 2, v' = cosx$，所以 $u' = 2x, v = sinx$
   $\int x ^ 2 \cos x dx = \int x ^ 2 d \sin x = x ^ 2 \sin x - \int \sin x d(x ^ 2) = x ^ 2 \sin x - 2 \int x \sin x dx = x ^ 2 \sin x + 2 \int x d \cos x = x ^ 2 \sin x + 2 (x \cos x - \int \cos x dx) = x ^ 2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$

第四节 微分方程简介

一、微分方程的基本概念

在科学技术中，往往是通过函数关系对客观事物的规律性进行研究的。如何寻求函数关系，在实践中具有重要的意义，许多实际问题往往不能直接找出所需要的函数关系，但可以通过具体问题所提供的情况以及相关的科学原理列出含有所要寻找的函数及其导数之间的关系式，
这样的涉及位置函数及其导数的关系式就是所谓的微分方程。对微分方程进行研究，找出未知函数就是所谓的求解微分方程。本节介绍微分方程的一些基本概念以及一些简单微分方程的求解方法。

例题

1. 一曲线通过点 $(1, -1)$ ，并且该曲线上任一点处的切线斜率等于其横坐标平方的倒数。求这条曲线的方程。
   解： 设所求曲线的方程为 $y = y(x)$，则根据题意可知： $\cfrac {dy}{dx} = \cfrac 1 {x ^ 2}$
   由此式两端积分 $y = \int \cfrac 1 {x ^ 2}dx \to y = - \cfrac 1 x + C$
   又 $y(1) = -1$，求得 $C = 0$.
   所求曲线方程为： $y = - \cfrac 1 x$

一元未知函数 $y(x)$ 以及它的导数（或微分）的关系式称为微分方程。
如果微分方程的解中含有任意常数并且相互无关的任意常数的个数正好是方程的阶数，则称此解为微分方程的通解。
如果微分方程的解中不含任意常数，称此解为特解。
求微分方程满足一定初始条件的特解的问题称为初始问题（初值问题）。

一阶微分方程一般可以表示为 $F(x,y,y') = 0$, 或 $y' = f(x,y)$, 或 $M(x, y)dx + N (x, y)dy = 0$

二、可分离变量的微分方程

如果一个一阶微分方程可以表示成 $\cfrac {dy} {dx} = g(x)h(y)$ 或 $M_1(x)M_2(y)dx + N_1(x)N_2(y)dy = 0$, 则称之为可分离变量的微分方程。
假定方程 $\cfrac {dy} {dx} = g(x)h(y)$ 中的函数 $g(x), h(y)$ 连续，并且 $h(y) \neq 0$ 则分离变量得到 $\cfrac {dy}{h(y)} = g(x)dx$。
上式两端积分即可得方程的通解 $H(y) = G(x) + C$，这样的通解称为方程的隐式解，即由它确定的隐函数是微分方程的解。

例题

1. 求微分方程 $\cfrac {dy}{dx} - 2y = 1$ 的通解。
   解： $\because \cfrac {dy}{2 y + 1} = dx$
   两端积分： $\int \cfrac {dy}{2 y + 1} = \int dx$
   $\cfrac {1}{2} \ln {|2y + 1|} = x + C_1$
   $y = \pm \cfrac {e^{2C_1}} {2} e ^ {2x} - \cfrac 1 2$

第五节 定积分的概念

一、定积分的概念

设函数 $y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有定义。 在区间 $[a, b]$ 中任意插入 $n - 1$ 个分点： $a = x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_{n - 1} \lt x_n = b$， 将区间分成 $n$ 个小区间 $[x_0, x_1], [x_1, x_2], \cdots, [x_{i - 1}, x_i], \cdots, [x_{n - 1}, x_n]$；
各个小区间的长度记为 $\Delta x_i = x_i - x_{i - 1} (i = 1, 2 , \cdots n)$。记为 $\lambda = \max \limits_{1 \le i \le n} \Delta x_i$，并在每个小区间 $[x_{i - 1}, x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$， 如果当 $\lambda \to 0$ 时， $\lim \limits_{\lambda \to 0} \sum \limits_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i = I$ 总存在， 且与 $[a, b]$ 的划分、 点 $\xi_i$ 的选取无关， 那么我们称这个极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分（简称积分）， 并记为 $\int _{a}^{b} f(x) dx$， 即
$\int _{a}^{b} f(x) dx = I = \lim \limits_{\lambda \to 0} \sum \limits_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$
我们成 $f(x)$ 为被积函数， $f(x)dx$ 为被积表达式， $x$ 为积分变量， $a$ 为积分下限， $b$ 为积分上限， $[a, b]$ 为积分区间。

定积分的几何意义

$f(x) > 0, \int_a ^ b f(x) dx = A$ 为曲边梯形面积
$f(x) < 0, \int_a ^ b f(x) dx = -A$ 为曲边梯形面积的负值
$\int_a^b f(x) dx = |A_1| + \cdots + |A_i|$.

可积的充分条件

1. 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。
2. 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有界，并且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

第六节 定积分的基本性质

性质一、线性性质

若 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积， $\alpha ,\beta$ 为二常数， 则 $\alpha f(x) + \beta g(x)$ 在 $[a, b]$ 上也可积， 并且 $\int _a ^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha \int _a ^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x) dx.$

性质二、区间的可加性

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积， $a \lt c \lt b$， 则 $f(x)$ 在 $[a, c], [c, b]$ 上可积； 反之， 若 $f(x)$ 在 $[a, c],[c, b]$ 上可积； 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上也可积， 并且 $\int_a ^b f(x)dx = \int _a ^ c f(x)dx + \int _c^b f(x)dx$.

性质三

如果在 $[a, b]$ 上 $f(x) = 1$， 则 $\int _a ^ b f(x)dx = \int _a ^ b 1dx = \int _a ^ bdx = b - a$

性质四、保号性

设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积， 并且 $f(x) \ge 0 {x \in [a, b]}$ 则 $\int _a ^ b f(x) dx \ge 0$.

推论1 (比较性质) 设 $f(x)$， $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积， 并且 $[a, b]$ 上 $f(x) \le g(x)$， 则 $\int _a ^ b f(x)dx \le \int _a ^ b g(x)dx$。

推论2 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积， 则 $|\int _a ^ b f(x) dx| \le \int _a ^ b |f(x)| dx$.

性质五、 估值定理

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积， 且 $M$ 和 $m$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最大值与最小值， 则 $m(b - a) \le \int _a ^ b f(x)dx \le M(b - a)$。

性质六、积分中值定理

如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， 则至少存在一个点 $\xi \in [a, b]$ ，使得 $\int _a ^ b f(x)dx = f(\xi)(b - a)$.

积分中值定理的几何意义： 如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， 则至少存在一个点 $\xi \in [a, b]$， 使得以区间 $[a, b]$ 为底， 以曲线 $y = f(x)$ 为曲边的曲边梯形面积等于以区间 $[a, b]$ 为底， 高为 $f(\xi)$ 的一个矩形的面积。 因此 $\cfrac {1}{b - a}\int _a ^ b f(x)dx$ 称为函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的平均值。

第七节 微积分基本公式

一、积分上限的函数及其导数

设函数 $f(t)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， 则对任意的 $x \in [a, b]$， $f(t)$ 在 $[a, b]$ 上连续， 从而在 $[a, x]$ 上可积。 令其积分为 $\phi(x) = \int _a ^ x f(t)dt, x \in [a, b]$，则 $\phi (x)$ 为定义在区间 $[a, b]$ 上的一个函数， 通常称作为积分上限的函数或变上限积分。

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， 则变上限积分 $\phi(x) = \int _a ^ x f(t)dt$ 在 $[a, b]$ 上可导， 并且 $\phi'(x) = \cfrac {d}{dx} \int _a ^ x f(t) dt = f(x), x \in [a, b]$。
如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， 那么它在 $[a, b]$ 上一定有原函数 $\phi(x) = \int _ a ^x f(t) dt$ 连续函数的原函数总是存在的。

二、微积分学基本定理 —— 牛顿-莱布尼茨公式

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数， 则 $\int _a ^b f(x)dx = F(b) - F(a).$

证明： 因为函数 $F(x)$ 和 $\phi(x) = \int _a ^x f(t)dt$ 都是 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 的原函数， 从而 $F(x) - \phi(x) = C$
令 $x = a$ 得 $F(a) - \phi(a) = C$。 又 $\phi (a) = 0$， 所以 $C = F(a)$。
得出 $\phi(x) = F(x) - F(a), x \in [a, b]$ 即 $\int _a ^x f(t)dt = F(x) - F(a)$，
特别地，当 $x = b$ 时， $\int _a ^b f(x) dx = F(b) - F(a)$。

例题

1. 求不定积分 $\int _0^1 x^2 dx$.
   解： 因为 $\cfrac {x ^ 3}{3}$ 是 $x ^2$ 的一个原函数， 所以根据牛顿-莱布尼茨公式有：
   $\int _0^1 x^2 dx = \cfrac {x ^ 3} {3} | _0 ^ 1 = \cfrac {1 ^ 3}{3} - \cfrac {0 ^ 3} {3} = \cfrac {1}{3}$

第八节 定积分的换元法与分部积分法

一、定积分的换元法

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， 函数 $x = \varphi(t)$ 满足：

1. $\varphi (t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有连续的导数， 并且其值域 $\varphi([\alpha, \beta]) = [a, b]$
2. $\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b$ 则 $\int _a ^b f(x)dx = \int _\alpha ^{\beta} f(\varphi (t)) \varphi'(t) dt$.

在应用定积分的换元法时应当注意两点：

1. 换元必换限， 上限对上限，下限对下限。即如果用 $x = \varphi (t)$ 把原来的变量换成了新变量 $t$，积分限也必须换成新变量 $t$ 的积分限，并且原来下限对应的参数做下限， 原来上限对应的参数做上限。
2. 求出 $f(\varphi (t)) \varphi '(t)$ 的原函数 $\varphi (t)$ 后，不必像计算不定积分那样将它还原成 $x$ 的函数， 只需将新变量的 上、下限代入相减即可。另外，反函数也可以不存在。

例题

1. 求定积分 $\int _0 ^ 8 \cfrac {dx}{1 + ^3\sqrt x}$
   解：去掉根式，令 $t = ^3\sqrt x$，则 $x = t ^ 3, dx = 3t^2dt$，并且当 $x = 0$ 时， $t = 0$； 当 $x = 8$ 时， $t = 2$。 因此， 根据换元公式有：
   $\int _0 ^ 8 \cfrac {dx}{1 + ^3\sqrt x} = \int _0 ^ 2 \cfrac {3t^2dt}{1 + t} = 3 \int _0^2 \cfrac {t^2 - 1 + 1}{1 + t}dt = 3 \int _0 ^2 (t - 1 + \cfrac {1}{1 + t} dt) = 3[\int _0 ^2(t - 1)dt + \int_0^2 \cfrac{d(1 + t)}{1 + t}]$
   根据牛顿-莱布尼茨公式可得最后结果 $3\ln3$

二、定积分的分部积分法

设函数 $u(x), v(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有连续导数， 则 $\int _a ^b u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) |_a^b - \int _a ^ b u'(x)v(x)dx$。

第九节 定积分的应用

一、什么问题可以用定积分解决？

1. 所求量 $U$ 是与区间 $[a, b]$ 上的某分布 $f(x)$ 有关的一个整体量。
2. $U$ 对区间 $[a, b]$ 具有可加性， 即可通过“大化小，常代变，近似和，取极限”，表示为 $U = \lim \limits_{\lambda \to 0} \sum \limits_{i = 1} ^ n f(\xi_i) = \Delta x_i$。

二、如何应用定积分解决问题？

1. 利用“化整为零，以常代变”求出局部量的近似值： $dU = f(x)dx$
2. 利用“积零为整，无限累加”求出整体量的精确值： $U = \int _a ^b f(x)dx$

这种分析方法叫做微元法。

三、定积分的几何应用

1. 平面图形的面积
   设曲线 $y = f(x) (\ge0)$ 与直线 $x = a, x = b (a < b)$ 及 $x$ 轴所围曲边梯形面积为 A, 则
   $dA = f(x)dx$
   $A = \int _a ^b f(x)dx$

2. 旋转体的体积
   设所给立体垂直于 $x$ 轴的截面面积 为 $A(x), A(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， 则对应于小区间 $[x, x + dx]$ 的体积元素为 $dV = A(x)dx$。因此所求立体体积为 $V = \int _a ^b A(x)dx$。
   特别地，当考虑连续曲线段 $y = f(x) (a \le x \le b)$ 绕 $x$ 轴旋转一周围成的立体体积时，有 $V = \int _a^n \pi [f(x)] ^ 2 dx$.

3. 平面曲线的弧长
   若在弧 $AB$ 上任意作内接折线，当折线段的最大边长 $\lambda \to 0$ 时， 折线的长度趋向于一个确定的极限， 则称词极限为曲线弧 $AB$ 的弧长，即
   $S = \lim \limits_{\lambda \to 0} \sum \limits_{i = 1}^{n} |M_{i - 1}M_i|$
   $ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + (y')^2}dx = \int _a ^b \sqrt{1 + f'^2(x)}dx$

4. 定积分的物理应用

   1. 变速直线运动的位移问题
      速度为 $v = v(t)$ 的变速直线运动物体在时间间隔 $[T_1, T_2]$ 内的位移为 $s = \int _{T_1}^{T_2}v(t)dt$.
   2. 变力沿直线所做的功
      由物理学知道，一个大小不变，方向与物体的运动方向一致的力 $F$ 作用于做直线运动的物体，当物体移动的距离为 $s$ 时， 力 $F$ 对物体所做的功是 $W = F \times s$. $W = \int _a^b F(x)dx$