1.随机试验、随机事件、样本空间
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随机试验:每次出现的可能结果不止一个,且事先不能肯定会出现哪一个结果的试验
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随机事件:在一次试验中可能发生也可能不发生的事件
- 分类:
- 基本事件:相对于观察目的不可再分解的事件
- 复合事件:两个及以上基本事件合并
- 随机事件的概率: 表示事件A发生概率
- 分类:
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样本点:随机试验的每个基本结果,记作
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样本空间:全体样本点的集合,记作
e.g 掷骰子
2. 随机变量
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随机变量:定义在样本空间上的实值函数,简称为
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把随机试验结果数值化
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随试验结果的不同而取不同的值,在试验之前只知道它可能的取值范围,而不能预先肯定它将取的值
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由于试验结果的出现具有一定的概率,于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率。
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随机变量通常用大写字母表示 或 ,而随机变量所取的值,通常用小写字母 表示
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分类:
- 离散型随机变量:所有取值可以逐个一一列举
- 连续型随机变量:全部可能取值无穷多
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随机事件与随机变量区别:
1)随机变量包括随机事件
2)随机变量是动态的观点,随机事件是静态的观点,如数学分析中常量与变量的区别
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离散型随机变量
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离散型随机变量X的概率函数(或分布律,或概率分布)
设 是离散型随机变量X所取的一切可能值,称
其中 满足:(1)
(2)
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离散型随机变量X的概率规律
- 离散型随机变量由它的概率函数唯一确定
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连续型随机变量
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连续型随机变量X的概率密度函数
对于随机变量,如果存在非负可积函数 ,使得对任意 ,有
则称X为连续型 ,称 为X的概率密度函数,简称为概率密度。其中 满足:
(1)
(2)
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对 进一步理解:
若 是 的连续点,则:
故X的密度 在x这一点的值,恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限。这里,如果把概率理解为质量, 相当于线密度。密度函数 在某点处 的高度,并不反映X取值的概率。但是,这个高度越大,则X取 附近的值的概率就越大。这说明某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度。
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连续型随机变量取任一指定值的概率为0
即: , 为任一指定值
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连续型随机变量唯一被它的密度函数所确定,所以,若已知密度函数,该连续型随机变量的概率规律就得到了全面描述
3.分布函数
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背景:为了对离散型的和连续型的 以及更广泛类型的 给出一种统一的描述方法,引进了分布函数的概念。它是一个普通的函数,通过它,我们可以用数学分析的工具来研究随机变量。
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定义:设X是一个 ,称
为 的分布函数,记作 ~ 或 。上式中 是随机变量, 是参变量。 是随机变量 取值不大于 的概率。
如果将X看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数 的值就表示X落在区间 的概率。
对任意实数 ,随机点落在区间 的概率为:
因此,只要知道了随机变量 的分布函数,它的统计特性就可以得到全面的描述 -
分布函数的性质:
(1) 非降,即若 ,则
(2)
(3) 右连续,即
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离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量 的概率函数是
则
由于 是 的诸值 的概率之和,故又称 为累积概率函数 -
连续型随机变量的分布函数
若 是连续型随机变量, ~ ,则
即分布函数是密度函数的可变上限不定积分由上式可得,在 的连续点处,有