泰勒公式

数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中，f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。

下面我们通过Python模拟e^x函数和sin(x)函数

模拟e^x函数

import numpy as np
import math
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
 
def calc_e_small(x):
    n = 10
    f = np.arange(1, n+1).cumprod()
    b = np.array([x]*n).cumprod()
    return np.sum(b / f) + 1
 
 
def calc_e(x):
    reverse = False
    if x < 0:   # 处理负数
        x = -x
        reverse = True
    ln2 = 0.69314718055994530941723212145818
    c = x / ln2
    a = int(c+0.5)
    b = x - a*ln2
    y = (2 ** a) * calc_e_small(b)
    if reverse:
        return 1/y
    return y
 
 
if __name__ == "__main__":
    t1 = np.linspace(-2, 0, 10, endpoint=False)
    t2 = np.linspace(0, 4, 20)
    t = np.concatenate((t1, t2))
    print(t)     # 横轴数据
    y = np.empty_like(t)
    for i, x in enumerate(t):
        y[i] = calc_e(x)
        print('e^', x, ' = ', y[i], '(近似值)\t', math.exp(x), '(真实值)')
    plt.figure(facecolor='w')
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    plt.plot(t, y, 'r-', t, y, 'go', linewidth=2, markeredgecolor='k')
    plt.title('Taylor展式的应用 - 指数函数', fontsize=18)
    plt.xlabel('X', fontsize=15)
    plt.ylabel('exp(X)', fontsize=15)
    plt.grid(True, ls=':')
    plt.show()

模拟sin(x)函数

import numpy as np
import math
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
 
 
def calc_sin_small(x):
    x2 = -x ** 2
    t = x
    f = 1
    sum = 0
    for i in range(10):
        sum += t / f
        t *= x2
        f *= ((2*i+2)*(2*i+3))
    return sum
 
 
def calc_sin(x):
    a = x / (2*np.pi)
    k = np.floor(a)
    a = x - k*2*np.pi
    return calc_sin_small(a)
 
 
if __name__ == "__main__":
    t = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 100, endpoint=False)
    print(t)     # 横轴数据
    y = np.empty_like(t)
    for i, x in enumerate(t):
        y[i] = calc_sin(x)
        print('sin(', x, ') = ', y[i], '(近似值)\t', math.sin(x), '(真实值)')
        print('误差：', y[i] - math.sin(x))
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    plt.figure(facecolor='w')
    plt.plot(t, y, 'r-', t, y, 'go', linewidth=2)
    plt.title('Taylor展式的应用 - 正弦函数', fontsize=18)
    plt.xlabel('X', fontsize=15)
    plt.ylabel('sin(X)', fontsize=15)
    plt.xlim((-7, 7))
    plt.ylim((-1.1, 1.1))
    plt.grid(True)
    plt.show()