《计算机逻辑基础》作为计算机专业的基础课，学好它也是很有必要的。

从今天开始将进行不定期的总结更新，为大家的学习提供参考。

如果内容有错误或其他问题，欢迎大家提出来，同时也欢迎大家批评指正。

今天要学习的是最基础但又是最核心的部分——数字逻辑基础。这部分内容，看似简单，但是否理解并完全掌握关乎着后续的学习。

现在就开始吧.

总结参考的教材是《数字逻辑电路与系统设计第2版》，蒋立平主编，电子工业出版社

1. 数制与数制转换

常见数制

注意：

1. 权：是一种数制中各位计数符号为1是所代表的数值成为该位的“权”。“权”只有说明在哪一种数制哪一位下才有意义。

数制转换

其他进制转化为十进制

1. 按权展开法(最常见最熟悉的方法）
   公式： N_i=(a₃a₂a₁a₀a_-1a_-2a_-3a_-4)_i=a₃×i³+a₂×i²+a₁×i¹+a₀×i⁰+a_-1×i^-1+a_-2×i^-2+a_-3×i^-3+a_-4×i^-4
   例如：
   (1101.101)₂=1×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰+1×2^-1+0×2^-2+1×2^-3=(13.625)₁₀
   ( 426.27)₈=4×8²+2×8¹+6×8⁰+2×8^-1+7×8^-2=(278.3529)₁₀
   ( 3d9.e5)₁₆=3×16²+13×16¹+9×16⁰+15×16^-1+5×16^-2=(985.95703125)₁₀
2. 整数连乘、小数连除法
   公式： N_i=(a₃a₂a₁a₀a_-1a_-2a_-3a_-4)_i =(((a₃×i+a₂)×i+a₁)×i+a₀)+(((a_-4×i^-1+a_-3)×i^-1+a_-2)×i^-1+a_-1)×i^-1
   如：(1101.101)₂=(((1×2+1)×2+0)×2+1)+((1×2^-1+0)×2^-1+1)×2^-1

十进制转化为其他进制

1. 提取基数的幂
   N₁₀=a₃×i³+a₂×i²+a₁×i¹+a₀×i⁰+a_-1×i^-1+a_-2×i^-2+a_-3×i^-3+a_-4×i^-4=N_i
   (13.625)₁₀=1×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰+1×2^-1+0×2^-2+1×2^-3=(1101.101)₂
2. 整数连除、小数连乘法
   (53)₁₀=(110101)₂
   
   (0.6875)₁₀=(0.1011)₂
   

二进制与八进制十六进制的转化

2.几种常见的编码

何为编码：用一组特定的符号表示数字、字母或文字

BCD码(Bianry Coded Decimal Codes)（二-十进制码）

1. 有权码：如8421码、5421码、2421码，数字说明了其相应位上的权值。
2. 无权码：如余3码、格雷码。余3码=8421码+(3)₁₀=8421码+(0011)₂

注意：区别BCD码与十进制转化为二进制
一个二进制数对应着一个十进制数整体，而BCD码是将十进制数的每一位转化为相应的代码
如：(138)₁₀=(10001010)₂=(000100111000)_8421BCD

格雷码(Gray码)

特点：相邻两个代码之间只有一位不同，其余各位相同。

好处：在传输中引起的误差较小。

所以也叫循环码

假定n位二进制码为B_n…B₁B₀,n位格雷码为R_n…R₁R₀, 则两码关系为：
R_n= B_n R_i = B_i+1 ⊕ B_i i≠n
B_n= R_n B_i = B_i+1 ⊕ R_i i≠n
### 奇偶校验码
构成：在原代码的基础上增加一个码位，使代码中含有1的个数为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）

字符数字码

常见的是ASCII码（7位码）

3.算数运算

二进制数的表示方法（针对有符号数）

首位为符号位
原码：数值是真值的绝对值，正数符号位为“0”，负数符号位为“1”。
如：(10)₁₀的原码为01010 (-10)₁₀的原码为11010
注意：0的原码有两种，(0)₁₀的原码为00000，(-0)₁₀的原码为10000
反码：正数的反码与原码相同，负数的反码：符号位为1，其余位取反，即0变为1，1变为0
如：(10)₁₀的反码为01010 (-10)₁₀的反码为10101
注意：0的反码有两种，(0)₁₀的反码为00000，(-0)₁₀的反码为11111
补码：正数的补码和原码相同，负数的原码：反码＋1
如：(10)₁₀的补码为01010 (-10)₁₀的补码为10110
注意：此时0的补码只有一种：00000

加法运算

在数字系统中，我们用补码进行运算。

减去一个整数=加上一个负数

4.逻辑运算

逻辑基本运算

逻辑代数基本定律和规则

逻辑函数相等

两个逻辑函数相等等价于真值表相同

定律

三条规则

1. 代入规则
对于任何一个含有变量X的逻辑等式中，若用逻辑函数式F代替等式两边的变量X，则新的逻辑等式仍然成立。
所以我们可以得到n变量的德·摩根定理：

2. 反演规则（香农定理）

注意：
①函数变量间运算次序不要改变
②对不属于单个变量的“非”号要保留不变
3. 对偶规则
若两个逻辑函数表达式相等，则他们的对偶式相等。

注意：
①要保持原函数变量间的运算次序
②单变量的对偶式仍是自身
③对于不属于单个变量的“非”号要保留不变

反函数和对偶式的不同点：
对偶式中不用对变量进行取反

常用公式

异或同或

务必注意：这是逻辑运算而非算数运算，在这里面1+1=1

5.逻辑函数的标准形式

运算次序：括号内 非 与 或

一个逻辑函数可以写成多种形式：与或式、或与式、与非与非式、或非或非式、与或非式
这几种形式可以相互转化

6.逻辑函数的化简

与或表达式的化简：

1. 公式法
2. 卡诺图法

最简与或式：

1. 乘积项最少
2. 乘积项中所含变量最少

公式法

缺点：很难判断所得结果是否为最简

卡诺图法

每个小方块中对应一个最小项

三变量的卡诺图

四变量的卡诺图

（最常用的就是这两个）

注意：再将逻辑函数转化为卡诺图时，逻辑函数首先要是与或式

在填卡诺图时，逻辑函数中有的项在方格中填1，没有的填0

举一个例子来解释：

如何来合并得到最简式呢：

1. 任意两个标1的方格相邻，可以合并为一项，消去一个变量，保留相同的变量。
2. 任意四个标1的方格相邻，可以合为一项，消去两个变量，保留相同的变量
   ①同一行或同一列
   ②四个顶角的方格
   ③田字格
   ④左右上下对称相邻而组成的田字格
3. 任意8个标1的方格相邻（相邻的两列或两行），可以合为一项，消去3个变量，保留相同的变量。

化简原则：
形成尽可能少的圈，且圈尽可能的大（这个感觉只可意会，不可言传）

注意：每个圈中包含的小方格数必须为2的整数次幂

卡诺图也可以来求反函数的最简与或式：用相同的方法来合并那些标0的方格

卡诺图还可以进行运算，对应方格进行逻辑运算得到的结果填到新的方格中

举个例子：

含无关项的逻辑函数的化简

1. 约束项：由于逻辑变量的约束关系，一些变量的取值不可能出现。最小项为0
2. 随意项：在某些变量取值下函数值取0取1都可以

无关项在卡诺图中用×来表示，可当0可当1，视情况而定

举个例子：

逻辑函数化简为其他形式

1. 与非与非式：最简与或式进行两次求反
2. 与或非式：对卡诺图圈0得到反函数的最简与或式，再对反函数求反
3. 或与式：最简与或式，两次求对偶或两次求反
4. 或非或非式：最简或与式，两次求反

举些例子：

注意：在变换到其他形式时，有可能不是最简的

希望我们都能够收获到知识。

下次更新内容：逻辑门电路。主要总结TTL门电路与CMOS门电路。

感谢大家看我的文章。
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