1. 不等式:设为内积空间,为标准正交集,不等式如下:
证明较简单,首先令:
,则有(证明过程略):
因此有:,即
利用单调有界数列必有极限,得到:
注意:收敛性比更强一点。可以证明,在空间下二者收敛性相同,更一般地,有:
与收敛性相同。
2. 下面考虑一种特殊的内积空间,即空间:
- 下面的无穷级数一定是收敛的:
- 如果为标准正交基(完全的标准正交集),则上式收敛到
- 如果为标准正交基,则Bessel不等式进一步表示为Parseval等式:
3. 综上:Parseval等式是Bessel不等式在内积空间完备+标准完全正交集下的特例。
4.在傅里叶分析中的应用。
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