题目地址:

https://www.lintcode.com/problem/lowest-common-ancestor-of-a-binary-tree/description

给定一棵二叉树和树中的两个节点，求最近公共祖先。

可以用递归的方式求解。代码如下（证明附在后面）：

public class Solution {
    /*
     * @param root: The root of the binary search tree.
     * @param A: A TreeNode in a Binary.
     * @param B: A TreeNode in a Binary.
     * @return: Return the least common ancestor(LCA) of the two nodes.
     */
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode A, TreeNode B) {
        // write your code here
        if (root == null) {
            return null;
        }
        
        if (root == A || root == B) {
            return root;
        }
        
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, A, B);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, A, B);
        
        if (left == null) {
            return right;
        } else if (right == null) {
            return left;
        } else {
            return root;
        }
    }
}

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left, right;
    TreeNode(int val) {
        this.val = val;
    }
}

时间复杂度 $O(n)$，空间 $O(h)$。

算法正确性证明：
函数的含义是在root为根的二叉树中寻找 $A$和 $B$的最近公共祖先（如果 $A$和 $B$都存在的话），否则，如果只存在 $A$或 $B$的话，就返回 $A$或者 $B$，都不存在则返回null。

数学归纳法。如果树只有 $0$或 $1$个节点时，结论正确。假设对 $k$个节点时也对，当树有 $k+1$个节点时，其左右子树的节点个数必然小于等于 $k$，由归纳假设，如果 $A$和 $B$都在右子树，则 $left=null$，并且 $right$是最近公共祖先，所以返回 $right$是正确的；如果 $A$和 $B$都在左子树，推理类似；如果 $A$和 $B$分别在两个子树中，那么递归两个子树时都不会返回null，此时最近公共祖先就是 $root$，原因是 $root$显然是公共祖先，并且无论怎么向下走一步，都不再是公共祖先。