01背包

描述

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

输入

第一行两个整数,N,V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来又N行，每行两个整数vi,wi,用空格隔开，分别表示第i件物品的体积和价值

输出

输出一个整数，表示最大价值。

样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

8

难度

中，动态规划

解法

基本思路是将该问题转化为子问题进行求解。考虑N件物品在限重M的背包下可选择的最大价值Fn,这个问题可以分解成两种情况来考虑：这是一个非黑即白的问题，因为一个物品只存在两种状态，放入背包和没有放入背包.

N1不放入背包，则问题转化为F[N-1][M]，N1不放入背包，则物品数减一
N1放入背包，问题转化为value[N1]+f[N-1][M-weight[N1]]，N1放入背包，则背包承重减少。

原问题的解取上面两种情况中的最大值。既F[N][M] = max{F[N-1][M], (F[N-1][M-weight[N1]+value[N1]))}。接下来问题又变成了求解F[N-1][M]和 F[N-1][M-weight[N1]两个子问题。然后一直类推到一个物品时。以此类推的话我们解决原始问题需要子问题的解。我们需要先计算子问题，自底向上求解。解决顺序如下表。从左到右，从上到下计算。

代码

#include "bits/stdc++.h"
#define MAXN 1007
using namespace std;
int volumn[MAXN],value[MAXN];
void bag(int n,int m){
    int d[n+1][m+1];
    memset(d,0, sizeof(d));
    //执行动态规划，自小到大计算，生成，value表
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        for(int j = 1;j<=m;j++){
            if(j<volumn[i]){
                //当背包的体积小于当前物品的体积时，则沿用上一行的value值
                d[i][j] = d[i-1][j];
            }
            else{
                //计算公式：F[i][j] = max(F[i-1][j],F[i-1][j-w[i]]+v[i])  放与不放
                d[i][j] = max(d[i-1][j],d[i-1][j - volumn[i]]+value[i]);
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++)
            cout<<d[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    cout<<d[n][m]<<endl;
}
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;  //n物品数量,m背包容积
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>volumn[i]>>value[i];
    bag(n,m);
}