01背包
描述
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
输入
第一行两个整数,N,V用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。
接下来又N行,每行两个整数vi,wi,用空格隔开,分别表示第i件物品的体积和价值
输出
输出一个整数,表示最大价值。
样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
8
难度
中,动态规划
解法
基本思路是将该问题转化为子问题进行求解。考虑N件物品在限重M的背包下可选择的最大价值Fn,这个问题可以分解成两种情况来考虑:这是一个非黑即白的问题,因为一个物品只存在两种状态,放入背包和没有放入背包.
N1不放入背包,则问题转化为F[N-1][M],N1不放入背包,则物品数减一
N1放入背包,问题转化为value[N1]+f[N-1][M-weight[N1]],N1放入背包,则背包承重减少。
原问题的解取上面两种情况中的最大值。既F[N][M] = max{F[N-1][M], (F[N-1][M-weight[N1]+value[N1]))}。接下来问题又变成了求解F[N-1][M]和 F[N-1][M-weight[N1]两个子问题。然后一直类推到一个物品时。以此类推的话我们解决原始问题需要子问题的解。我们需要先计算子问题,自底向上求解。解决顺序如下表。从左到右,从上到下计算。
物品 | volumn | value | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 4 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
2 | 1 | 2 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
3 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 | 6 | 6 | 6 |
4 | 3 | 4 | 0 | 2 | 4 | 6 | 6 | 8 |
5 | 4 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 | 6 | 8 |
代码
#include "bits/stdc++.h"
#define MAXN 1007
using namespace std;
int volumn[MAXN],value[MAXN];
void bag(int n,int m){
int d[n+1][m+1];
memset(d,0, sizeof(d));
//执行动态规划,自小到大计算,生成,value表
for(int i = 1;i<=n;i++){
for(int j = 1;j<=m;j++){
if(j<volumn[i]){
//当背包的体积小于当前物品的体积时,则沿用上一行的value值
d[i][j] = d[i-1][j];
}
else{
//计算公式:F[i][j] = max(F[i-1][j],F[i-1][j-w[i]]+v[i]) 放与不放
d[i][j] = max(d[i-1][j],d[i-1][j - volumn[i]]+value[i]);
}
}
}
for(int i=0;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=m;j++)
cout<<d[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<d[n][m]<<endl;
}
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m; //n物品数量,m背包容积
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>volumn[i]>>value[i];
bag(n,m);
}