这道题实际上是考察快速幂,所谓的快速幂,实际上是快速幂取模的缩写,简单的说,就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中,经常要去求一些大数对于某个数的余数,为了得到更快、计算范围更大的算法,产生了快速幂取模算法。
我们先从简单的例子入手:求。
算法1.首先直接地来设计这个算法:
int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
这个算法的时间复杂度体现在for循环中,为O(b).这个算法存在着明显的问题,如果a和b过大,很容易就会溢出。
那么,我们先来看看第一个改进方案:在讲这个方案之前,要先有这样一个公式:
这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过。
于是不用思考的进行了改进:
算法2:
int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
聪明的读者应该可以想到,既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变,那么新算得的ans也可以进行取余,所以得到比较良好的改进版本。
算法3:
int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余
}
ans = ans % c;
这个算法在时间复杂度上没有改进,仍为O(b),不过已经好很多的,但是在c过大的条件下,还是很有可能超时,所以,我们推出以下的快速幂算法。
快速幂算法依赖于以下明显的公式,我就不证明了。有了上述两个公式后,我们可以得出以下的结论:
那么我们可以得到以下算法:
算法4:
int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数,要多求一步,可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
{
ans = (ans * k) % c;
}
ans = ans % c;
我们可以看到,我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然,这样子治标不治本。但我们可以看到,当我们令k = (a * a) mod c时,状态已经发生了变化,我们所要求的最终结果即为mod c而不是原来的 mod c,所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然,对于奇数的情形会多出一项a mod c,所以为了完成迭代,当b是奇数时,我们通过ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项,此时剩余的部分就可以进行迭代了。
形如上式的迭代下去后,当b=0时,所有的因子都已经相乘,算法结束。于是便可以在O(log b)的时间内完成了。于是,有了最终的算法:快速幂算法。
算法5:快速幂算法
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 == 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
以上思路是转自http://www.doc88.com/p-5836182437827.html 下面是我根据这个思路实现的程序(C++):
class Solution {
public:
bool notZero(vector<int>& b) {
for(int i = b.size()-1; i >= 0; i--) {
if(b[i] > 0) return true;
}
return false;
}
void div(vector<int>& b) {
int tmp = 0;
for(int i = 0; i < b.size(); i++) {
b[i] += tmp*10;
tmp = b[i] % 2;
b[i] = b[i] / 2;
}
}
int superPow(int a, vector<int>& b) {
int ans = 1;
a = a % 1337;
while(notZero(b)) {
if(b[b.size()-1] % 2 != 0) ans = (ans * a) % 1337;
div(b);
a = (a * a) % 1337;
}
return ans;
}
};