学习笔记
学习书目：《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌 》-张天蓉；

奇异吸引子与蝴蝶效应

回顾我们上一篇Blog说道的洛伦茨吸引子图：

这种不属于经典理论的吸引子就叫做奇异吸引子。

我们在之前提到，几个经典的吸引子分别是0、1、2维的图形。那么洛伦茨吸引子是几维的呢？

回顾前几个Blog对分形的介绍，我们知道，不仅有整数维的几何图形，也有分数维的几何形状。吸引子实际上是一个具有无穷结构的分形。表现出混沌现象的系统的吸引子-奇异吸引子，就是一种分形。整数维数的吸引子（正常吸引子）是光滑的周期运动解；分数维数的吸引子（奇异吸引子）则是相关于非线性系统的非光滑的混沌解。

当我们仔细研究洛伦茨吸引子程序，就会发现：状态点，也就是洛伦茨系统的解将随着时间的流逝不重复地、无限次数地奔波于两个分支图形之间。有数学家仔细研究了洛伦茨吸引子的分形维数，得出的结果是2.06±0.01 .

从奇异吸引子的形状及几何性质，我们看到了混沌和分形关联的一个方面：分形是混沌的几何表述。

奇异吸引子不同于正常吸引子的另一个重要特征是它对初始值的敏感性：上一个Blog中所说的3种经典吸引子对初始值都是稳定的，也就是说，初始状态接近的轨迹始终接近，偏离不远。而奇异吸引子中，初始状态接近的轨迹之间的距离却随着时间的增大而指数增加。

由此，气象学家洛伦茨意识到，“长时期的气象现象是不可能被准确无误地预报的”。因为，计算结果证明：初始条件的极微小变化，可能导致预报结果的巨大差别。

洛伦茨将这个结论形象地称为“蝴蝶效应”，用以形容结果对初值的极其敏感。

奇异吸引子是否罕见

其实，像洛伦茨发现的这类具有奇异吸引子的系统并非什么凤毛麟角的例外，而是自然界随处可见的极为普遍的现象，是经典力学所描述的事物的常规。然而，经典力学已建立三百多年，为什么经典系统的混沌现象却直到三十多年前才被发现呢？这其中的原因不外乎如下几点：
一是人们的观念上总是容易被成熟的、权威的理论所束缚；
二则又是与近二三十年来计算机技术的飞速进展分不开的。

为何不支持决定论

从物理学的角度而言，起码有两点证据不支持决定论：

①量子物理中的不确定原理表明，位置和动量不可能同时确定，时间和能量也不可能同时确定。因此，初始条件是不确定的，永远不可能有所谓的“准确的初始条件”，当然，结果也就不可能确定。

②经典的物理规律，大多数都是用微分方程组的数学模型来描述的。建立微分方程的目的，本来就是为了研究那些确定的、有限维的、可微的演化过程。因此，微分方程的理论是机械决定论的基础。但是，微分方程组不一定就真是描述世界所有现象的最好方法，事实上，在牛顿力学以外的许多物理现象，不能只用微分方程来研究，而对大自然中广泛存在的分形结构、物理中的湍流、布朗运动、生命形成过程，等等，微分方程理论也是勉为其难，力不从心。