$已知A，B为3阶矩阵，且满足2A^{-1}B=B-4E.$
$(1)证明：矩阵A-2E可逆.$
$(2)若B=\begin{pmatrix} 1 &-2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix},求矩阵A.$
$(1)证：由2A^{-1}B=B-4E知AB-2B-4A=0，从而$
$(A-2E)(B-4E)=8E,即(A-2E)\frac{1}{8}(B-4E)=E.$
$故A-2E可逆，且(A-2E)^{-1}=\frac{1}{8}(B-4E).$
$(2)由(1)知A=2E+8(B-4E)^{-1}，而$
$(B-4E)^{-1}=\begin{pmatrix} -3 &-2 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{8}\begin{pmatrix} -2 &2 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \\ \end{pmatrix}.$
$故A=\begin{pmatrix} 0 &2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix}.$