计算行列式的值:
$D_{n+1}=\begin{vmatrix} a^n&(a-1)^n&\dots&(a-n)^n\\ a^{n-1}&(a-1)^{n-1}&\dots&(a-n)^{n-1}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a& a-1&\dots&a-n\\ 1&1&\dots&1\\ \end{vmatrix}$
解:将行列式上下翻转,得
$D_{n+1}=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\begin{vmatrix} 1&1&\dots&1\\ a&a-1&\dots&a-n\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a^{n-1}&( a-1)^{n-1}&\dots&(a-n)^{n-1}\\ a^n&(a-1)^n&\dots&(a-n^n\\ \end{vmatrix}$
此行列式为范德蒙德行列式.故
$D_{n+1}=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\prod_{n+1\ge i\ge j\ge 1}[(a-i+1)-(a-j+1)]\\ =(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\prod_{n+1\ge i\ge j\ge 1}[-(i-j)]\\ =(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\times(-1)^{\frac{n+n-1+\dots+1}{2}}\times \prod_{n+1\ge i\ge j\ge 1}(i-j)\\ =\prod_{n+1\ge i\ge j\ge 1}(i-j).$