函数极限的定义与性质
定义3.1 (1)
f(x)在
x0的某个去心邻域上有定义,若存在实数
A,对任意的
ε>0,存在正数
δ>0,当
0<∣x−x0∣<δ时,都有
∣f(x)−A∣<ε则称函数
f(x)在
x0处极限存在,A是
f(x)在
x0处的极限,记为
limx→x0f(x)=A
(2)如果对任意的正数
M>0,存在正数
δ>0,当
0<∣x−x0∣<δ时,有
f(x)>M(<−M)则称函数
f(x)是
x0处的正(负)无穷大量,记为
limx→x0f(x)=+∞(−∞)
(3)如果
∣f(x)∣是
x0处的正无穷大量,则称
f(x)是
x0处的无穷大量
除了定义某个点的极限,还可以定义趋于无穷的极限
定义3.2 (1)
f(x)在
(a,+∞)((−∞,a))上有定义,若存在实数
A,对任意的
ε>0,存在正数
M>0,当
x>M(<−M)时,都有
∣f(x)−A∣<ε则称函数
f(x)在
x→+∞(→−∞)的过程极限存在,A是
f(x)在过程
x→+∞(→−∞)的极限,记为
limx→+∞f(x)=A(limx→−∞f(x)=A)
(2)如果对任意的正数
M>0,存在正数
M2>0,当
x>M2(x<−M2)时,都有
∣f(x)∣≥M则称函数
f(x)是
x→+∞(→−∞)过程的正无穷大量,记为
limx→+∞f(x)=+∞(limx→−∞f(x)=+∞)
(3)如果对任意的正数
M>0,存在正数
M2>0,当
x>M2(x<−M2)时,都有
∣f(x)∣≤−M则称函数
f(x)是
x→+∞(→−∞)过程的负无穷大量,记为
limx→+∞f(x)=−∞(limx→−∞f(x)=−∞)
(4)如果
∣f(x)∣是
x→+∞(→−∞)过程的正无穷大量,则称
f(x)是
x→+∞(→−∞)过程的无穷大量
这样,对函数而言,有三种趋近过程,如果考虑广义极限,还有三种极限(有限实数、正负无穷),三种过程有三种无穷小量,三种无穷大量,这是和数列极限的区别。下面我们考虑收敛于有限实数的情形,我们统一记成
limf(x),统一给出性质,当然,这些性质的证明和数列情形是类似的,这里我们就不给出具体的证明过程。
定理3.1
(1)函数极限是唯一的
(2)(局部有界性)函数
f(x)在某个过程的极限存在,那么在某个时刻之后函数是有界的
(3)(不等式性质)函数
f(x)和
g(x)在某个过程的极限存在,并且存在某个时刻,在该时刻之后,有
f(x)≤g(x),则
limf(x)≤limg(x)
(4)(不等式性质2)函数
f(x)和
g(x)在某个过程的极限存在,并且
limf(x)<limg(x),则存在某个时刻,在该时刻之后,有
f(x)<g(x)
(5)(局部保号性1)函数
f(x)在某个过程的极限存在,在某个时刻之后,有
f(x)≤0(≥0),则
limf(x)≤0(limf(x)≥0)
(6)(局部保号性2)函数
f(x)在某个过程的极限存在,
limf(x)>0(limf(x)<0),则在某个时刻之后,有
f(x)>0(<0)
(7)函数极限的四则运算性质都成立
(8)(夹逼准则)函数
f(x)和
g(x)在某个过程的极限都等于
A,并且在该过程的某个时刻之后,都有
f(x)≤h(x)≤g(x),则
h(x)在该过程的极限存在,并且
limh(x)=A
所谓某个时刻,我们可以列表加以说明
过程 |
"在某个时刻之后"的含义 |
x→x0lim |
∃δ>0,当
0<|
x−x0|
<δ时 |
x→+∞lim |
∃M>0,当
x>M时 |
x→−∞lim |
∃M>0,当
x<−M时 |
x→∞lim |
∃M>0,当
x>|
x|时 |
无穷小量和无穷大量也有类似的性质
定理3.2
(1)
f(x)是某个过程的无穷小量,
g(x)是该过程中某个时刻之后的有界变量,则
f(x)g(x)是该过程的无穷小量
(2)
limf(x)=A的充要条件是
f(x)−A是该过程的无穷小量
(3)
f(x)是该过程的无穷小量的充分必要条件是
f(x)1是该过程的无穷大量
(4)
f(x)是某个过程的无穷大量(正无穷大量、负无穷大量),
g(x)是该过程中某个时刻之后的有界变量,则
f(x)±g(x)是该过程的无穷大量(正无穷大量、负无穷大量)
(5)
f(x)是某个过程的无穷大量,存在正数
m>0,
g(x)在该过程的某个时刻之后满足
∣g(x)∣>m,则
f(x)g(x)是该过程的无穷大量
(6)两个正(负)无穷大量的和还是正(负)无穷大量
(7)正(负)无穷大量和负(正)无穷大量的差是正(负)无穷大量
下面,我们对函数极限的无穷大量和无穷小量的阶作一个统一的定义:
定义3.3
f(x)和
g(x)是某个过程的两个无穷小量
(1)如果
limg(x)f(x)=0,则称
f(x)是
g(x)的高阶无穷小,记为
f(x)=o(g(x))
(2)如果
limg(x)f(x)=A=0,则称
f(x)和
g(x)是同阶无穷小
(3)如果
limg(x)f(x)=1,则称
f(x)和
g(x)是等价无穷小
作为函数极限的例子,我们来证明一个重要的极限:
例3.1
limx→0xsin(x)=1
证:
实际上,由几何关系,在
0<x<2π时,有
sin(x)<x<tan(x)在三角形
△ABC中,
∣BC∣=sin(x)<∣AB∣,而两点之间线段最短,因此
∣AB∣又比弧长
x小,因此,有
sin(x)<x,而扇形的面积小于
△OAD的面积,就直接有
x<tan(x)为了应用夹逼准则,我们还要证明
x→0limcos(x)=1考察
∣cosx−1∣=∣2sin(2x)2∣≤2x2
再由夹逼准则,有
x→0limcos(x)=1同时,有以下不等式
cosx1<xsinx<1(注意到
xsinx是偶函数)
再应用夹逼准则可以证得结论
在这里,我们再引入两个极限过程:
定义3.4
(1)
f(x)在
x0的某个右(左)半去心邻域有定义,如果存在实数
A,对任意的
ε>0,存在
δ>0,对任意的
x∈(x0,x0+δ)(x∈(x0−δ,x0)),都有
∣f(x)−A∣<ε,则称
f(x)在
x0处的左(右)极限存在,记为
x→x0+limf(x)=A(x→x0−limf(x)=A) (2)
f(x)在
x0的某个右(左)半去心邻域有定义,如果对任意的正数
M>0,存在正数
δ>0,对任意的
x∈(x0,x0+δ)(x∈(x0−δ,x0)),都有
f(x)>M,则称
f(x)是
x→x0+(x→x0−)过程的正无穷大量,记为
x→x0+limf(x)=+∞(x→x0−limf(x)=+∞)(3)
f(x)在
x0的某个右(左)半去心邻域有定义,如果对任意的正数
M>0,存在正数
δ>0,对任意的
x∈(x0,x0+δ)(x∈(x0−δ,x0)),都有
f(x)<−M,则称
f(x)是
x→x0+(x→x0−)过程的正无穷大量,记为
x→x0+limf(x)=−∞(x→x0−limf(x)=−∞)
对左右极限,前面的定理都是成立的,形式也是类似的,这里就不一一列出
实际上,左右极限是逼近某个点的两个方向,那么,如果在某个点的极限存在,那么理所应当地,无论以何种方式逼近这个点,极限都应当是相同的,就有如下定理:
定理3.3
f(x)在
x0处极限等于
A的充分必要条件是
f(x)在
x0处的左右极限都等于
A
证明是容易的,这里省略
函数极限也有相应地单调收敛定理,证明和数列极限是类似的,我们这里仅列出,证明过程省略
定理3.4
(1)如果存在
δ>0,
f(x)在
(x0,x0+δ)上单调上升(单调下降)并且有下界(有上界),则
f(x)在
x0出的右极限存在
(2)如果存在
δ>0,
f(x)在
(x0−δ,x0)上单调上升(单调下降)并且有上界(有下界),则
f(x)在
x0出的左极限存在
(3)如果
f(x)在实轴上单调上升有上界,则
limx→+∞f(x)存在
(4)如果
f(x)在实轴上单调上升有下界,则
limx→−∞f(x)存在
函数极限与数列极限的关系
前面谈到:函数在某个过程的极限存在,那么,无论以何种路径实现该过程 ,都应当只有唯一的极限,这一个路径在实轴上就体现为点列。
定理3.5 A为有限实数或正负无穷
(1)
f(x)在
x0处的右极限为
A的充分必要条件是:对任意的点列
{xn},
xn>x0,
limn→∞xn=x0,都有
n→∞limf(xn)=A(2)
f(x)在
x0处的左极限为
A的充分必要条件是:对任意的点列
{xn},
xn<x0,
limn→∞xn=x0,都有
n→∞limf(xn)=A(3)
f(x)在
x0处的极限为
A的充分必要条件是:对任意的点列
{xn},
xn=x0,
limn→∞xn=x0,都有
n→∞limf(xn)=A(4)
limx→+∞f(x)=A的充分必要条件是:对任意的点列
{xn},
limn→∞xn=+∞,都有
n→∞limf(xn)=A(5)
limx→−∞f(x)=A的充分必要条件是:对任意的点列
{xn},
limn→∞xn=−∞,都有
n→∞limf(xn)=A
证:
我们仅以有限实数为例证明(1),其他证明是相当类似的。
必要性,如果
limx→x0+f(x)=A,则任意的
ε>0,存在
δ>0,当
0<x−x0<δ时,有
∣f(x)−A∣<ε对任意的点列
{xn},
xn=x0,
limn→∞xn=x0,存在
N,
n≥N时,有
∣xn−x0∣<δ,从而
∣f(xn)−f(x0)∣<ε充分性,如果对任意的点列
{xn},
xn<x0,
limn→∞xn=x0,都有
n→∞limf(xn)=A反证法证明,如果
limx→x0+f(x)=A,那么存在正数
ε0>0,对任意
n≥1,存在
x0<xn<x0+n1,并且:
∣f(xn)−A∣≥ε0而
limn→∞xn=x0,矛盾
定理3.5提供了一种判断极限不存在的方法,也就是取一个数列,证明这个数列的极限不存在,就可以证明函数的极限不存在。
连续情形下的柯西收敛原理
连续情形下也有柯西收敛原理,只不过在连续情形下,极限过程有5种,相应的柯西收敛原理也有5种,我们一一列举出来,并证明右极限情形,其他极限过程的柯西收敛原理原理是类似的。
定理3.6(连续情形下的柯西收敛定理)
(1)
limx→x0+f(x)存在的充分必要条件是:对任意的
ε>0,存在
δ>0,对任意的
x1,x2∈(x0,x0+δ),都有
∣f(x1)−f(x2)∣<ε(2)
limx→x0−f(x)存在的充分必要条件是:对任意的
ε>0,存在
δ>0,对任意的
x1,x2∈(x0−δ,x0),都有
∣f(x1)−f(x2)∣<ε(3)
limx→x0f(x)存在的充分必要条件是:对任意的
ε>0,存在
δ>0,对任意的
x1,x2∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ),都有
∣f(x1)−f(x2)∣<ε(4)
limx→+∞f(x)存在的充分必要条件是:对任意的
ε>0,存在
M>0,对任意的
x1,x2≥M,都有
∣f(x1)−f(x2)∣<ε(5)
limx→−∞f(x)存在的充分必要条件是:对任意的
ε>0,存在
M>0,对任意的
x1,x2≤−M,都有
∣f(x1)−f(x2)∣<ε
证:
仅证明(1),其他证明类似
必要性是显然的,仅证明充分性:
任取一个点列
{xn=x0+n1},那么显然,
{f(xn)}是柯西列。
由数列极限的柯西收敛原理,
{f(xn)}收敛,令
limn→∞f(xn)=A
下面证明:
limx→x0+f(x)=A
考察估计式:
∣f(x)−A∣≤∣f(x)−f(xn)∣+∣f(xn)−A∣对任意的
ε>0,存在
δ>0,对任意的
x1,x2∈(x0,x0+δ),都有
∣f(x1)−f(x2)∣<2ε存在正整数
n,满足,
n1<δ,同时,
∣f(xn)−A∣<2ε
当
0<x−x0<δ时,都有
∣f(x)−A∣≤∣f(x)−f(xn)∣+∣f(xn)−A∣<ε
函数的连续性
连续性与间断点
定义3.5
f(x)在
x0的某个邻域上有定义,如果
limx→x0f(x)=f(x0),则称
f(x)在
x0点处连续,如果
f(x)在区间
I上每个点都连续,那么称
f(x)在
I上连续
按左右极限的关系,有
定义3.6
f(x)在
x0的右(左)半邻域上有定义,如果
limx→x0+f(x)=f(x0)(limx→x0−f(x)=f(x0)),则称
f(x)在
x0点处右(左)连续
有如下定理
定理3.7
f(x)在
x0上连续的充要条件是
f(x)在
x0上左连续且右连续
如果
f(x)在
x0上不连续,称
x0是
f(x)的间断点,那么间断的情况有哪几种呢?
按照定理3.7,连续需要左右极限都存在,并且都等于
f(x0)
第一种情况:如果左右极限都存在,但至少有一个不等于
f(x0),此时,
f(x)在
x0处是跳跃的
第二种情况:如果左右极限其中之一不存在,但是是广义收敛的,那么此时我们就称
x0是无穷间断点
第三种情况:左右极限其中之一不存在,并且不是广义收敛的,那么
f(x)在
x0的一侧像三角函数一样上下波动,但是波动幅度不会缩小
定义3.7
(1)
f(x)在
x0处左右极限存在,但不全等于
f(x0),则称
x0是
f(x)的第一类间断点
(2)
f(x)在
x0处左右极限存在且相等,但不等于
f(x0),则称
x0是
f(x)的可去间断点
(3)
f(x)在
x0处左右极限存在但不相等,则称
x0是
f(x)的跳跃间断点
(4)
f(x)在
x0处左右极限至少有其一不存在,则称
x0是
f(x)的第二类间断点
(5)
f(x)在
x0处有,
limx→x0+=±∞或
limx→x0−=±∞,
则称
f(x)是无穷间断点
由极限的四则运算法则,连续函数也对四则运算封闭
定理3.8
(1)
f(x)和
g(x)在
x0上连续,则
f(x)±g(x)在
x0上连续
(2)
f(x)和
g(x)在
x0上连续,则
f(x)g(x)在
x0上连续
(3)
f(x)和
g(x)在
x0上连续,
g(x0)=0,则
g(x)f(x)在
x0上连续
另外,连续函数还对复合函数和反函数运算封闭
定理3.9
g(y)在
y=y0处连续,
y0=f(x0),
f(x)在
x=x0处连续,则
g(f(x))在
x=x0处连续
证:
对任意的
ε>0,存在
δ1>0,
∣y−y0∣<δ1时,有
∣g(y)−g(y0)∣<ε又存在
δ2>0,
∣x−x0∣<δ2时,有
∣f(x)−f(x0)∣<δ1此时,有
∣g(f(x))−g(f(x0))∣<ε
实际上,定理3.9还有更弱的形式:
定理3.10
g(y)在
y=y0处连续,
limx→x0+f(x)=y0(limx→x0−f(x)=y0),则
x→x0+limg(f(x))=g(y0)(x→x0−limg(f(x))=g(y0))
证明是类似的,这里我们就不给出具体的证明
为了讨论连续函数的反函数性质,我们首先要明确,反函数存在的条件,我们在证明了闭区间上连续函数的性质之后,我们将证明闭区间
[a,b]上连续函数反函数存在的条件是
f(x)在
[a,b]上严格单调,下面的证明用到一个事实:
[a,b]上连续函数的值域都是闭区间,我们先承认这个事实,在下一节进行证明。
定理3.11
f(x)是
[a,b]上严格单调上升(下降)的连续函数,则
f−1(y)是
[f(a),f(b)]上严格单调上升(下降)的连续函数
证:
仅证明单调上升的情形
首先证明
f−1是严格单调上升的,对任意的
f(a)≤y1<y2≤f(b),令
x1=f−1(y1),
x2=f−1(y2)
按照反函数的定义,
y1=f(x1),y2=f(x2)
如果
x1≥x2,由
f的单调性,应有
y1=f(x1)≥f(x2)=y2,与
y1<y2矛盾。
其次证明
f−1的连续性,由单调性,对任意的
y∈[f(a),f(b)],
f−1在
y处的左右极限都是存在的(如果在端点则只有左极限或右极限)
我们证明右极限情形,左极限是类似的
对任意的
ε>0,不妨设
f−1(y)+ε<b,就有
y<f(f−1(y)+ε)对任意的
y<y′<f(f−1(y)+ε),由严格单调性,有
f−1(y)<f−1(y′)<f−1(y)+ε
这就证明了:
limy′→yf−1(y′)=f−1(y)
闭区间上连续函数的性质
下面我们讨论闭区间上连续函数的性质
定理3.12(有界性定理和最值定理)
f(x)是闭区间
[a,b]上的连续函数,则
f(x)在闭区间
[a,b]上有界,并且上下界可以取到
证:
(1)先证有界性:如果
f(x)在
[a,b]上无界,那么可以取得
[a,b]的一个数列
{xn},
limn→∞∣f(xn)∣=+∞,由魏尔斯特拉斯定理,
{xn}存在收敛子列
{xnk},
limk→∞xnk=x0,则
limk→∞∣xnk∣=+∞,而由连续性,应当有
limk→∞∣xnk∣=f(x0),矛盾
(2)再证明上下确界可以取到:记
M=sup{f(x):x∈[a,b]},取
[a,b]的一个数列
{xn},满足:
M≥f(xn)>M−n1,再由魏尔斯特拉斯定理,取
{xn}的收敛子列
{xnk},有
M≥f(xnk)>M−nk1两边对
k→∞取极限,再由夹逼准则,有
k→∞limf(xnk)=M而设
limk→∞xnk=x0,又有
k→∞limf(xnk)=f(x0)=M下确界情形的证明是类似的
定理3.13
f(x)是闭区间
[a,b]上的连续函数,
M,m为
f(x)在闭区间
[a,b]的最大值和最小值,对任意的
m≤y≤M,存在
x∈[a,b],使得
y=f(x)
证:
如果
f(a)=y,那么结论自然成立,在假设
y<M,否则结论显然成立
不失一般性,设
f(a)<y,而
f(a)>y的证明是类似的。
令
S={t∈[a,b]:∀x∈[a,t],f(x)<y},首先
S是非空并且由上界的,同时,
b∈/S
令
t0=sup(S),这意味着,对任意的
a<t<t0,都有
f(t)<y,那么,由函数极限的不等式性质,应当有
f(t0)≤y。
但是,按照
S的构造,又不能有
f(t0)<y,假设
f(t0)<y
首先,
t0<b,否则对任意的
x∈[a,b],都有
f(x)≤y,与
M是最大值矛盾
其次,由
f(t0)<y,就可以取得
t0的一个右半邻域,在这个右半邻域上都有
f(x)<y,这又与
t0=sup(S)矛盾
综上,
f(t0)=y
综合定理3.12及定理3.13,就可以得到如下推论
推论3.1 闭区间上连续函数的值域是闭区间
接下来,我们给出一个更强的连续性,对于连续函数来说,对任意的
ε>0,都存在
δ>0,
∣x−x0∣<δ时,有
∣f(x)−f(x0)∣<ε
但给定
ε,
δ是和
x0有关的,可以认为
δ是
x0的函数
然而,很多时候,我们需要这个
δ和点的选取无关,而闭区间上的连续函可以做到这一点
定义3.8
f(x)是定义在区间
I上的函数,如果对任意的
ε>0,存在正数
δ>0,对任意的
x1∈I,x2∈I,∣x1−x2∣<δ,都有
∣f(x1)−f(x2)∣<ε则称
f(x)在区间
I上一致连续
定理3.14
f(x)是闭区间
[a,b]上的连续函数,则
f(x)在闭区间
[a,b]上一致连续
证:
用反证法证明。
假设
f(x)在闭区间
[a,b]上不一致连续,则存在正数
ε0>0,可以取到
[a,b]中的两个点列
{xn}和
{yn},满足
∣xn−yn∣<n1,但
∣f(xn)−f(yn)∣≥ε0取子列使得
{xnk}和
{ynk}都收敛,则
k→∞limxnk=k→∞limynk=x0有
∣f(xnk)−f(ynk)∣≥ε0两边对
k→∞取极限,由连续性,有
∣f(x0)−f(x0)∣≥ε0矛盾
初等函数的连续性
接下来,我们来证明初等函数的连续性,只要证明了基本初等函数的连续性,那么再由连续函数的四则运算及复合函数法则,对基本初等函数进行有限次四则运算及复合函数运算,得到的都是连续函数,这样就证明了全体初等函数都是连续。我们再日常遇到的大多都是初等函数,这就说明了连续函数就足以满足我们许多需求。
三角函数的连续性
对任意的
Δx,对任意的
x,由两角和的公式,有
sin(x+Δx)−sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx−sinx=sinx(cosΔx−1)+cosxsinΔx=2sinx(sin2Δx)2+cosxsinΔx对上式进行放缩
0≤∣sin(x+Δx)−sinx∣≤2∣(sin2Δx)2∣+∣sinΔx∣≤2Δx2+∣Δx∣应用夹逼准则,就有
Δx→0lim∣sin(x+Δx)−sinx∣=0这就证明了
sinx在整个数轴上都是连续的
对任意的
Δx,对任意的
x,由两角和的公式,有
cos(x+Δx)−cosx=cosxcosΔx−sinxsinΔx−cosx=cosx(cosΔx−cosx)−sinxsinΔx=2cosx(sin2Δx)2−sinxsinΔx当然,由以上等式的形式,再沿用上面的证明方法,就可以知道,
cosx在整个数轴上都是连续的
全体三角函数都可以由
sinx和
cosx通过四则运算表出,因此,全体三角函数都是连续的,再由反函数的连续法则,反三角函数也是连续函数
指数函数与对数函数
对
a>0,我们首先要给出
ab(b∈R)的定义。因为我们再初等数学中,只学过
b为有理数情形下的定义
我们先来回顾指数是有理数情形该如何定义?首先,当
b是正整数时,就定义为
b个
a相乘。
当
b=n1,就定义为实数
c≥0,满足:
cn=a,实际上,这样的实数可以通过二分法找到,首先,找一个完全平方数
N2>a,令
I0=[0,N2]
令
I0=[a0,b0],考察区间的中点
c0,如果
c0n=a就找到满足条件的
c,否则,如果
c0n<a,令
I1=[c0,b0]=[a1,b1],如果
c0n>a,令
I1=[a0,c0]=[a1,b1]
考察区间
I1的中点
c1,如果
c1n=a就找到满足条件的
c,否则,如果
c1n<a,令
I2=[c1,b1]=[a2,b2],如果
c1n>a,令
I2=[a1,c1]=[a2,b2]
依此类推
⋯
如果以上步骤能在有限步内结束,那么就找到了
ab,否则,就得到一个闭区间套
{In},由闭区间套定理,存在唯一的
c∈⋂n=1∞In
只要验证其满足
cn=a,实际上,函数
f(x)=xn是连续函数
这是因为
f(x+Δx)−f(x)=k=0∑nCnkxn−kΔxk−xn=k=1∑nCnkxn−kΔxk
xk在
0处连续
事实上,
xk在
(0,+∞)上的严格单调上升的,并且有下界0,有单调有界收敛原理,
xk在
0处的右极限存在,而
0<nk1<n1再由夹逼准则,有
n→∞lim(n1)k=0由函数极限与数列极限的关系,
xk在
0点连续
因此,
xn在整个实轴上连续
按照构造,有
bk→c,并且,
bkn>a,再由构造
ak→c,并且,
akn<a,由极限的不等式性质,
cn≥a,同时
cn≤a,于是,
cn=a
再由
xn的严格单调性,
c是一意的
对正有理数
q=nm,并且
m,n互素,
aq就定义为
aq=(am)n1
对负有理数
q,
aq定义为
a−q1
对互质的两个正整数
m,n,有
anm=(an1)m实际上,如果
c=an1,那么:
(cm)n=(cn)m=am这样,
cm=(an1)m=(am)n1=anm
从而,
a−nm=(an1)−m
我们再验证:对任意的正整数
k,
akn1=(an1)k1
令
c=akn1,
d=ck,则
dn=(ck)n=ckn=a因此,
d=an1,
c=dk1
这样,有
anm=(an1)m=((akn1)k)m=(akn1)km
a−nm=(an1)−m=((akn1)k)−m=(akn1)−km下面证明:以上定义的指数幂有如下性质:
(1)对任意的两个有理数
r,s,对任意正实数
a,都有
ar+s=aras(2)对任意的两个有理数
r,s,对任意正实数
a>1,
r<s,有
ar<as
证:
(1)设
r=nm,
s=tk,其中,
s,t是正整数,
m,n
是整数。\
有
ar=(ant1)mt
as=(ant1)kn
r+s=ntmt+kn,故
ar+s=(ant1)mt+kn
aras=(ant1)mt(ant1)kn=(ant1)mt+kn
因此,
ar+s=aras
(2)
as=aras−r,容易验证,
as−r>1,因此
as>ar
对实数
r,对实数
a>1,定义:
ar=inf{aq:q∈Q,q>r},这样,对实数
r,
ar都是有意义的。容易验证,当
r是有理数时,两个定义都是相等的。下面我们验证:对任意两个实数
r,s,都有
ar+s=aras成立
证:
首先,对任意的
c>1,取有理数
q1>r,q2>s,满足:
aq1<car
aq2<cas
有
ar+s≤aq1+q2=aq1aq2<c2aras
由
c的任意性,得到
ar+s≤aras
在证明反向不等式:
对任意的
c>1,取有理数
q>r+s,取有理数
q1>r,
q2>s,
同时,
q=q1+q2。\
有
car+s>aq=aq1aq2≥aras
由
c的任意性,就可证得反向不等式
对
a>1,对任意的实数
x,及增量
Δx,有:
axax+Δx=aΔx由以上等式,可以得到
f(x)=ax在整个实轴是严格单调上升的,因为:当
Δx>0时,任取有理数
q>Δx,再取有理数
0<q2<Δx,一定有
1<aq2<aq对任意的
c>1,不妨取
aq<caΔx,于是
1<aq2<caΔx由
c的任意性,得到
1<aq2≤aΔx当
Δx>0时,必有
axax+Δx>1再证明
f(x)=ax(a>1)在整个实轴上是连续的
ax+Δx−ax=ax(aΔx−1)只要验证
f(x)在
x=0处连续即可。
下面我们证明以下极限:
n→∞liman1=1(a>1)
证:
首先,
an1>1\
其次,由均值不等式,
an1≤na−1+n
再由夹逼准则可以证得结论
于是
n→∞lima−n1=n→∞liman11=1由单调收敛原理,
f(x)在
0处左右极限都存在。再由两个极限,有
x→0+limax=x→0−limax=1=a0这样就证得了
f(x)在整个实轴上严格单调上升且连续
对
0<a<1,
ax定义为
(a1)x1,此时,
f(x)=ax在整个实轴上单调下降且连续
对数函数定义为指数函数的反函数,记为
logay,按照定义,有
alogay=y(y>0)因此,
alogay1alogay2=alogay1+logay2=y1y2从而对数函数有如下性质:
logay1y2=logay1+logay2有当
0<a<1时,对数函数在
(0,+∞)上单调下降且连续
有当
a>1时,对数函数在
(0,+∞)上单调上升且连续
幂函数
首先,容易验证:在
p,q都是有理数,
a>1情况下,有
apq=(ap)q再由指数函数的连续性,对任意的实数
r,s,
a>1,都有
ars=(ar)s当
x>0,对任意的
α,都有:
xα=eαlnx由复合函数的连续性法则:
f(x)=xα就在
(0,+∞)上连续。
但当
x≤0时,
xα不一定有意义,因此,要特别注意幂函数的定义域。
我们仅对指数时有理数情况进行讨论:当
α=nm,其中
m,n互质,当
n是奇数时才有意义,此时,
x<0时,
xα=(−1)m(−x)α
由复合函数连续性,幂函数也在定义域内连续。综合以上全部论述,有:
定理3.15 初等函数在其定义域内是连续的
常用的等价无穷小
例3.2
x→0时
sinx∼x∼tanx∼arcsinx∼arctanx
证:
(i)
sinx∼tanx
x→0limtanxsinx=x→0limcosx=1
(ii)
x∼arcsinx
t→0limarcsintt=t→0limarcsintsin(arcsint)注意到
t→0limarcsint=arcsin0=0
g(x)={1xsinxx=0x=0
g(x)在
x=0处连续,
f(t)=arcsint在
t=0处连续,因此
t→0limarcsintt=g(f(0))=1(iii)同理可证
arctanx∼x
例3.3
x→0时
ex−1∼x∼ln(x+1)
证:
考察函数
f(x)=(1+x)x1(x∈(−1,0)∪(0,+∞)),
x>0时
(1+x)[x1]≤(1+x)x1≤(1+x)[x1]+1
(1+x)[x1]≥(1+1+[x1]1)[x1]
(1+x)[x1]+1≤(1+[x1]1)[x1]+1而:
x→0+lim(1+1+[x1]1)[x1]=n→∞lim(1+1+n1)n=e
x→0+lim(1+[x1]1)[x1]+1=n→∞lim(1+n1)n+1=e由夹逼准则:
x→0+lim(1+x)x1=e当
0<x<1时,有估计式:
f(x)=(1+x)−x11=(1−−x11)−x11
(1−−x11)−x1≤(1−1+[−x1]1)[−x1]
x→0−lim(1−1+[−x1]1)[−x1]=n→∞lim(1−n+11)n=n→∞lim(1+n1)n1=e1
(1−−x11)−x1≥(1−[−x1]1)[−x1]+1
x→0−lim(1−[−x1]1)[−x1]+1=n→∞lim(1−n1)n+1=n→∞lim(1−n1)2(1+n−11)n−11=e1由夹逼准则:
x→0−lim(1+x)x1=e在
x=0处补充定义
e,即:
f(x)={e(1+x)x1x=0x∈(−1,0)∪(0,+∞)
f(x)在
x=0处连续。
x→0limxln(1+x)=x→0limln(1+x)x1=x→0limlnf(x)=ln(f(0))=1
x→0limxex−1=x→0limln(ex−1+1)ex−1=t→0limln(t+1)t=1
例3.4
x→0时
1−cosx∼21x2
证:
x→0lim21x21−cosx=x→0limx22(1−cosx)=x→0limx24(sin2x)2=x→0lim(2xsin2x)2=1
例3.5
x→0时,对任意的
α,都有
(1+x)α−1∼αx
证:
实际上,有
x→0limαx(1+x)α−1=x→0limαxeαln(1+x)−1=x→0limαxαln(1+x)=1