多元函数的可微性
可微性
|| 定义一:可微性和全微分的定义
(注意:全增量—> 全微分)
偏导数
|| 定义二:偏导数的定义
|| 偏导数的几何意义:
可微性条件
|| 定理1:可微的必要条件
|| 全微分的新形式: dz = fx(x,y)dx + fy(x,y)dy
|| 定理2:可微的充分条件:
|| 定理3:全增量的另一种形式
可微性的几何意义
|| 定义三:切平面的定义(类比一元函数中切线的定义)
|| 定理4:函数在点上可微的充要条件
|| 切平面方程
复合函数微分法
|| 多元复合函数的定义:
|| 定理5:多元复合函数的偏导数的求导法则(链式法则)
(注意:复杂的多元函数,可以使用树的形式来查看推导路径)例如:
复合函数的全微分
|| 非复合函数的全微分公式:
|| 全微分的公式:
|| 一阶全微分形式不变性
方向导数和梯度
偏导数只是多元函数在坐标轴方向上的变化率,而方向函数将获得多元函数在其他特定方向的变化率
|| 定义:方向导数的定义
|| 定理6:方向导数的公式
|| 定义:梯度的定义(一个特殊的方向向量)
|| 方向导数的另一种形式:(即向量相乘形式)
(注意:其中的 l0= (cosA,cosB,cosC) 为l方向上的单位向量,而角度θ为gradf(P0)与l0的夹角)
泰勒公式和极值问题
高阶偏导数
|| 多元函数多种形式的偏导数。eg:
|| 定理7:混合偏导数相等条件
多元函数的中值定理和泰勒公式
|| 凸区域的概念
若区域D上任一两点的连线都含于D,则称D为凸区域,即满足下列式子:
|| 多元函数的中值定理
|| 多元函数中值定理的推论:若 f 存在偏导数 fx=fy=0,则f在区域D上位常量函数
|| 定理9:泰勒定理
(注意:多元函数中值公式即为泰勒公式在n=0时的特殊情形)
极值问题
|| 定义:多元函数的极值定义
|| 定理10:极值的必要条件
(注意:满足上式的点称为稳定点,极值点必为稳定点,但是稳定点不都是极值点)
|| 黑赛矩阵(二阶偏导数矩阵)
|| 定理11:极值充分条件
(注意:n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。
n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。
n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值既有>0,又有<0,还有可能=0)
|| 定理11 的使用形式: