函数项级数的概念
函数列与函数项级数
级数是一种重要的扩展函数类的手段,利用级数,我们可以表示一些没有解析表达式的函数。当然,级数是用数列极限的方式定义的,我们也可以用数列极限的方式来扩展函数类。
假设
{fn(x)}是定义在区间
I的一列函数,对于每一个
x∈I,
{fn(x)}就成了实数列,如果对于每个
x∈I,
{fn(x)}都收敛,其极限记为
f(x),这样,
f(x)是一个函数,只不过是以极限方式定义的,我们称
f(x)为极限函数。
定义10.1
{fn(x)}是定义在区间
I的一列函数,对于每一个
x∈I,极限\
limn→∞fn(x)存在,称
{fn(x)}在区间
I上逐点收敛,记
f(x)=n→∞limfn(x)
f(x)称为
{fn(x)}在区间
I的极限函数
有函数列极限函数,必然就有函数项级数:
定义10.2
{fn(x)}是定义在区间
I的一列函数,对于每一个
x∈I,级数
∑n=1∞fn(x)收敛,称函数项级数
∑n=1∞fn(x)在区间
I上逐点收敛,函数
S(x)=n=1∑∞fn(x)称为
{fn(x)}是定义在区间
I上的和函数
这样,我们就可以利用数列极限得到更广阔的一类函数。
例10.1
{xn}在开区间
(−1,1)上的极限函数为
f(x)=0
例10.2 函数项级数
∑n=1∞xn在
(−1,1)上逐点收敛,和函数为
S(x)=1−xx
例10.3 函数项级数
∑n=1∞nx1在
(1,+∞)上逐点收敛,然而,其和函数没有解析表达式
一致收敛的定义
我们更关心的一个问题是:通过这样构造的函数具有何种性质。
例10.4
fn(x)=xn在
(−1,1]上逐点收敛,极限函数为
f(x)={01−1<x<1x=1每一个
fn(x)都是
(−1,1]上的连续函数,然而极限函数却不是。
实际上,如果
fn(x)在
x0处连续,
f(x)也在
x0处连续,用极限的语言表示,就是:
x→x0limn→∞limfn(x0)=n→∞limx→x0limfn(x)也就是两个极限过程可以交换顺序。类似的,还有积分号、求导号和函数列极限号能否交换顺序的问题。当然,从例10.4也可以看出,两个极限号不总是可交换的。但是,如果我们考虑更强的一种收敛性的时候,两种极限过程,就可以交换,这个极限过程就是一致收敛。
先来解释何谓“一致”:
函数列
{fn(x)}在区间
I上是逐点收敛的,但是收敛的速度确是逐点不同的。实际上,考察数列收敛的定义就可以明白这一点:对任意的
ε<0,对任意的
x∈I,都存在正整数
N,
n≥N时
∣fn(x)−f(x)∣<ε然而,以上定义中的
N,确是
x的函数,
x不同,正整数
N就不同,这就是所谓收敛的速度。如果
{fn}收敛的步调一致,对任意的
ε>0,存在一个与
x无关的正整数
N,对所有的
x∈I,都有
∣fn(x)−f(x)∣<ε这就称为是一致收敛。
定义10.3
{fn(x)}是区间
I上函数列,如果对任意的
ε>0,存在正整数
N,
n≥N时,对区间
I上任意一点
x,都有
∣fn(x)−f(x)∣<ε则称
{fn(x)}在
I上一致收敛到函数
f(x)
对函数项级数也可以定义一致收敛,这里不再赘述。我们举一例感受何谓“一致收敛”。
例10.5 对任意的
0<α<1,
fn(x)=xn在
[0,α]上一致收敛
证:
对任意的
0<α<1,由
fn的单调性
∣fn(x)∣=xn≤αn对任意的
ε>0,存在
N,
n≥N时,
αn<ε。
∣fn(x)∣<ε这就证明了一致收敛。
例10.5 接例10.5,证明
fn(x)=xn在
[0,1)上不一致收敛
证:
怎么证明一个函数列不是一致收敛的呢?按照定义,就取点列
{xn},取正数
ε0>0,如果都有
∣fn(xn)−f(xn)∣≥ε0那么函数列就不是一致收敛的。
实际上,我们知道
(1−n1)n是单调递减的,并且
n→∞lim(1−n1)n=e1这样
(1−n1)n≥e1因而,
fn(x)在
[0,1]上不是一致收敛的。
fn(x)在大区间
[0,1]上不是一致收敛的,然而放在较小的区间
[0,α]上,一致收敛就成立了!我们可以用下图直观地感受这个差别。
如图,实际上,划定一条基准线
y=ε0,不论
n多大,总有点在
y=ε0之上,然而,划定一个子区间,在
n足够大时,
fn(x)就一定会落在
y=ε0的下方,这就是为什么取子区间
[0,α],
fn(x)可以一致收敛,一旦放在
[0,1)上,一致收敛就不成立。
我们也可以如此理解,如果
{fn}在区间
I上一致收敛,极限函数为
f(x),那么,
n足够大时,
fn一定落在
f−ε和
f+ε之间的一条带上。
这样,
n足够大时,
fn与
f可以近似认为整体上“差别很小”,那么
fn的性质就能整体传递到
f上。所以,一致收敛的条件下,极限函数有着非常好的性质。当然,这里我们只是给了一个直观的认识,并没有给出定理的论述和严格证明。我们将在第三部分完成这一点。
一致收敛的判定
M判别法
一致收敛非常重要,但紧接着就要有判定一致收敛的方法。实际上,一致收敛也有所谓的比较判别法,即是所谓的魏尔斯特拉斯判别法,简称M判别法。当然,在证明M判别法之前,我们要给出一致收敛的柯西准则:
定理10.1(一致收敛的柯西准则) 区间
I上的函数列
{fn}上一致收敛的充分必要条件是:对任意的
ε>0,存在正整数
N,当
n≥N时,对任意的
x∈I,都有
∣fn(x)−fm(x)∣<ε
证:
充分性:如果对任意的
ε>0,存在正整数
N,当
n≥N时,对任意的
x∈I,都有
∣fn(x)−fm(x)∣<ε那么由数列收敛的柯西准则,
fn(x)在
I上是逐点收敛的,设极限函数为
f(x),可取子列
{fnk(x)},对任意的
x∈I,都有
∣fnk+1(x)−fnk(x)∣<2k1有
fnk(x)=fn1(x)+∑i=1k−1(fni+1(x)−fni(x)),于是
fn1(x)+i=1∑∞(fni+1(x)−fni(x))=f(x)
∣f(x)−fnk(x)∣≤i=k∑∞∣fni+1(x)−fni(x)∣≤i=k∑∞2i1=2k−11这样,对任意的
ε>0,存在
N,
n,m≥N时,对任意的
x∈I,都有
∣fn(x)−fm(x)∣<2ε又存在
K,
nK≥N,同时对任意的
x∈I,有
∣fnK(x)−f(x)∣<2ε再由三角不等式
∣fn(x)−f(x)∣≤∣fn(x)−fnK(x)∣+∣fnK(x)−f(x)∣<ε
必要性:如果
{fn}一致收敛到
f,那么对任意的正数
ε>0,存在
N,
n≥N时,对任意的
x∈I,都有
∣fn(x)−f(x)∣<2ε对任意的
n,m≥N,就有
∣fn(x)−fm(x)∣≤∣fn(x)−f(x)∣+∣fm(x)−f(x)∣<ε
定理10.2(M判别法)
{fn}是区间
I上的函数列,如果存在正数列
{xn},对任意的
n,对任意的
x∈I,都有
∣f(x)∣≤xn同时正项级数
∑n=1∞xn收敛,则函数项级数
∑n=1∞fn(x)在
I上一致收敛
利用柯西准则很容易证明该定理,这里就省略具体的证明过程。
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法
如果找不到基准级数,就只能借助柯西准则判定一致收敛。同数项级数的情形,我们也可以给出函数项级数的判定方法。
定理10.3(狄利克雷判别法)
{fn}和
{gn}是区间
I上的两个函数列,如果:
(1)对任意的
x∈I,
{fn(x)}是单调数列,并且
{fn(x)}在
I上一致收敛到0
(2)(一致有界)存在正数
M>0,对任意的
n及
x∈I,都有
∣k=1∑ngk(x)∣≤M则
{fn(x)gn(x)}在
I上一致收敛
定理10.4(阿贝尔判别法)
{fn}和
{gn}是区间
I上的两个函数列,如果:
(1)对任意的
x∈I,
{fn(x)}是单调数列,并且存在
M>0,对任意的
n及
x∈I,
∣fn(x)∣≤M
(2)函数项级数
∑n=1∞gn(x)在
I上一致收敛
则
{fn(x)gn(x)}在
I上一致收敛
证明和数项级数是类似的,这里就省略具体的证明过程。
一致收敛的性质
连续性
定理10.5
{fn(x)}在
I上一致收敛到
f(x),
x0∈I,如果对每一个
n
x→x0limfn(x)=xn并且
{xn}收敛到
y,那么
x→x0limf(x)=y
用两个极限过程来解释就是:
x→x0limn→∞limfn(x)=n→∞limx→x0limfn(x)也就两个极限号可交换,下面我们来证明该定理:
证:
对任意的正数
ε>0,存在正整数
N1,
n≥N1,对任意的
x∈I
∣fn(x)−f(x)∣<3ε又存在正整数
N2,
n≥N2时
∣xn−y∣<3ε取定一个
n≥max(N1,N2),存在
δ>0,
0<∣x−x0∣<δ时
∣fn(x)−xn∣<3ε这样
∣f(x)−y∣≤∣f(x)−fn(x)∣+∣fn(x)−xn∣+∣xn−y∣<ε
推论10.1
{fn}是区间
I上的连续函数列,且在
I上一致收敛到
f(x),则
f(x)在
I上连续
这说明了,在一致收敛的情况下,连续性可以传递到极限函数上。
推论10.2
{fn}是区间
I上的连续函数列,并且函数项级数
S(x)=∑n=1∞fn(x)在
I上一致收敛,则
S(x)是
I上的连续函数
积分与极限号的交换
定理10.6
{fn(x)}在
[a,b]上一致收敛到
f(x),对任意的
n,
fn(x)在
[a,b]上可积,则
f(x)在
[a,b]上可积,并且
n→∞lim∫abfn(x)dx=∫abf(x)dx
如果用极限的语言表达就是
n→∞lim∫abfn(x)dx=∫abn→∞limfn(x)dx
也就是积分号和极限号可交换。
证:
分两步证明:
第一,先证明可积性,再证明积分和极限号可交换。
先考察极限函数的振幅,对任意的闭区间
[a,b]的两点
x1,x2
∣f(x1)−f(x2)∣≤∣f(x1)−fn(x1)∣+∣fn(x1)−fn(x2)∣+∣fn(x2)−f(x2)∣(1)对任意的
ε>0,存在
N,
n≥N时,对任意的
x∈[a,b],都有
∣fn(x)−f(x)∣<3(b−a)ε(2)取定一个
n,由
fn(x)在
[a,b]上可积,存在分划
Δ
Δ:a=x0<x1<⋯<xn=n在
Δ上的振幅和
k=1∑nωk(xk−xk−1)<3ε对该分划,由(\ref{eq1}),对任意的
x,y∈[xk−1,xk],都有
∣f(x)−f(y)∣≤∣f(x)−fn(x)∣+∣fn(x)−fn(y)∣+∣fn(y)−f(y)∣<3(b−a)2ε+ωk(3)由(3),设
ωk′是
f(x)在
[xk−1,xk]上的振幅,就有
ωk′≤3(b−a)2ε+ωk(4)由(4),就有
k=1∑nωk′(xk−xk−1)≤32ε+k=1∑nωk(xk−xk−1)<ε(5)由达布定理,
f(x)在
[a,b]上可积
第二,证明积分和极限号可交换:
∣∫abfn(x)dx−∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)−fn(x)∣dx对任意的
ε>0,存在
N,
n≥N时,对任意的
x∈[a,b],都有
∣fn(x)−f(x)∣<(b−a)ε此时
∫ab∣f(x)−fn(x)∣dx≤ε这就证明了积分号和极限号可交换
推论10.3 函数列
{fn(x)}是闭区间
[a,b]上的可积函数列,并且函数项级数
S(x)=∑n=1∞fn(x)在
[a,b]上一致收敛,则和函数
S(x)在闭区间
[a,b]上可积,并且
∫abS(x)dx=n=1∑∞fn(x)dx
导数与极限号的交换
定理10.7
{fn(x)}是区间
[a,b]上的可导函数列,逐点收敛到
f(x)并且导函数列
{fn′(x)}在区间
[a,b]上一致收敛到
σ(x),则
(1)
fn(x)在
[a,b]上一致收敛到
f(x)
(2)
f(x)在
[a,b]上可导,并且
f′(x)=σ(x)∀x∈[a,b]
证:
第一,我们证明
{fn}在
[a,b]上一致收敛,用柯西准则证明
任取
x0∈(a,b),由拉格朗日中值定理,对任意的
x∈[a,b]
∣fn(x)−fm(x)∣≤∣fn(x0)−fm(x0)∣+∣∣fn(x)−fm(x)−(fn(x0)−fm(x0))∣=∣fn(x0)−fm(x0)∣+∣fn′(ξ)−fm′(ξ)∣∣x−x0∣∣≤∣fn(x0)−fm(x0)∣+∣fn′(ξ)−fm′(ξ)∣(b−a)其中
ξ介于
x,x0之间,由
{fn′(x)}在区间
[a,b]上一致收敛,由柯西准则,对任意的
ε>0,存在
N1,
n,m≥N1时,对任意的
x∈[a,b],都有
∣fn′(x)−fm′(x)∣<2(b−a)ε又由
{fn}在
[a,b]上逐点收敛到
f(x),存在
N2,
n,m≥N2时,都有
∣fn(x0)−fm(x0)∣<2ε即
n,m≥max(N1,N2)时,有
∣fn(x)−fm(x)∣<ε∀x∈[a,b]由柯西准则
{fn}在
[a,b]上一致收敛到
f(x)
第二步,证明求导和极限可交换:
任取
x0∈[a,b],令
hn(x)=x−x0fn(x)−fn(x0)(x=x0),
hn(x0)=fn′(x0),则
hn(x)在
[a,b]上连续。再令
h(x)=x−x0f(x)−f(x0)(x=x0),
h(x0)=σ(x0),当然,
hn(x)在
[a,b]上逐点收敛到
h(x),下面证明
hn(x)在
[a,b]上一致收敛到
h(x):
由拉格朗日中值定理,存在介于
x,x0之间的
ξ,满足
∣hn(x)−hm(x)∣=∣x−x0∣∣fn(x)−fm(x)−(fn(x0)−fm(x0))∣=∣fn′(ξ)−fm′(ξ)∣由柯西准则,对任意的
ε>0,存在
N,
n,m≥N时,对任意的
x∈[a,b],都有
∣fn′(x)−fm′(x)∣<ε从而
∣hn(x)−hm(x)∣=∣x−x0∣∣fn(x)−fm(x)−(fn(x0)−fm(x0))∣=∣fn′(ξ)−fm′(ξ)∣<ε由柯西准则,
{hn}逐点收敛到
h,再由
{hn}的连续性,
h在
[a,b]上是连续的,从而,
f在
x0处可导,导数为
σ(x0)
推论10.4
{fn(x)}是区间
[a,b]上的可导函数列,级数
S(x)=∑n=1∞fn(x)在
[a,b]上逐点收敛并且级数
∑n=1∞fn′(x)在区间
[a,b]上一致收敛到
σ(x),则
(1)级数
S(x)=∑n=1∞fn(x)在
[a,b]上逐点收敛
(2)
S(x)在
[a,b]上可导,并且
S′(x)=σ(x)