数项级数的定义和相关概念
所谓无穷级数就是可列个实数相加。那么,该如何定义可列个实数的和呢?我们已经有了有限个实数的和,对一个数列
{xn},我们有前n个实数的和
Sn=k=1∑nxk这就组成了部分和序列
{Sn},很自然地,我们就想到用部分和序列的数列极限来作为可列个实数的和。
定义9.1
{xn}是实数列,如果极限
n→∞limk=1∑nxk存在,那么称级数
∑n=1∞xn收敛,记为
n=1∑∞xn=n→∞limk=1∑nxk
定理9.1(数项级数收敛的必要条件)
{xn}是实数列,如果级数
∑n=1∞xn收敛,则
n→∞limxn=0
证:
xn=Sn−Sn−1(n≥2)
两边取极限就能证得结论
同样地,由柯西准则,我们可以得到级数收敛的一个充要条件。
定理9.2(数项级数收敛的柯西准则)
{xn}是实数列,则级数
∑n=1∞xn收敛的充分必要条件是对任意的正数
ε>0,存在正整数
N,对任意的
n≥N,对任意的正整数
p,都有
∣k=n∑n+pxk∣<ε
类似于广义积分的绝对收敛和条件收敛,级数也有相应的条件收敛和绝对收敛。
定义9.2
{xn}是实数列,如果
∑n=1∞∣xn∣收敛,就称级数
∑n=1∞xn绝对收敛,如果级数
∑n=1∞xn收敛,但不绝对收敛,就称级数
∑n=1∞xn条件收敛
定理9.3
{xn}是实数列,如果
∑n=1∞xn绝对收敛,则级数
∑n=1∞xn收敛
证明是类似的,这里不证。
这样,我们判断一个级数是否收敛,首先判断通项是否趋于0,其次判断是否绝对收敛,在不绝对收敛的条件下再判断是否条件收敛。
级数审敛法
比较判别法
由于绝对收敛蕴含着级数收敛,因此,我们首先考虑正项级数的敛散性的判断。同样地,如果
xn≥0(n≥1),那么部分和序列
{Sn}单调上升,这样,级数的收敛等价于部分和序列是否有界。
定理9.5
{xn}是非负实数列,则正项级数
∑n=1∞xn收敛的充分必要条件是存在正实数
M>0,对任意的
n≥1,部分和
∑k=1nxk≤M
这样,就可以通过和基准级数的比较来判断正项级数的敛散性。
定理9.6
{xn}和
{yn}是两个非负实数列,如果存在正整数
N及正实数
c1>0,c2>0,当
n≥N时,
c1xn≤c2yn,则
(1)
∑n=1∞xn发散,则
∑n=1∞yn发散
(2)
∑n=1∞yn收敛,则
∑n=1∞xn收敛
类似于广义积分,比较审敛法也有其极限形式。
定理9.7
{xn}和
{yn}是两个非负实数列,
yn>0(n≥1),如果
n→∞limynxn=a(1)
a=0则,如果
∑n=1∞xn发散,
∑n=1∞yn发散,如果
∑n=1∞yn收敛,
∑n=1∞xn收敛
(2)
0<a<∞,则
∑n=1∞xn和
∑n=1∞yn同敛散
广义积分判别法
提出广义积分判别法是为了给出一组重要的基准级数的收敛性。这组基准级数敛散性的判断可以作为正项级数敛散性的重要依据。
定理9.7(积分审敛法)
f(x)在
[0,+∞)上非负单调下降,对任意的
x>0,
f(x)在
[0,x]上可积,则
∑n=1∞f(n)的充要条件是无穷限积分
∫0+∞f(x)dx收敛
在证明广义积分判别法之前,我们先看该定理的几何意义。
如图,
f(1)+f(2)+f(3)可以表为图(a)和(b)的三个矩形的面积。只不过在图(a)中三个矩形的面积小于
∫03f(x)dx,在图(b)中,三个矩形的面积大于
∫14f(x)dx。这样,就可以利用无穷限积分的收敛性,判断级数
∑n=1∞f(n)的敛散性。
证:
如果无穷限积分
∫0∞f(x)dx收敛,那么,存在正实数
M>0,对任意的
x>0,都有
∫0xf(t)dt<M而
k=1∑nf(k)≤∫0nf(t)dt<M因此,正项级数
∑n=1∞f(n)收敛。
如果无穷限积分
∫0∞f(x)dx收敛,则
n→∞lim∫1nf(t)dt=+∞而
k=1∑nf(k)≥∫1n+1f(t)dt因此,
∑n=1∞f(n)发散
现在,我们来给出两个重要的级数,后面的正项级数判别法大多都基于这两个基准进行。
例9.1 判断级数
∑n=1∞nα1的敛散性
解:
我们知道无穷限积分
∫1∞xαdx在
α>1时收敛,
0<α≤1时发散。因此,
∑n=1∞nα1在
α>1时收敛,
0<α≤1时发散。
例9.2 判断几何级数
∑n=1∞xn的敛散性(
x>0)
解:
实际上,几何级数的部分和我们在中学时已经求出。
Sn=1−xx(1−xn)因此,
0≤x<1时级数收敛。
x≥1时级数发散。
达朗贝尔判别法和柯西根值判别法
现在,我们有了两个基准,将正项级数和这两个级数进行比较。就得到正项级数的达朗贝尔判别法和柯西根值判别法。实际上,如果存在正实数
0<x<1,存在
N,
n≥N时,
xn≤xn正向级数
∑n=1∞xn收敛,如果存在
N,
n≥N,
xn≥1,级数一定发散,至少通项不趋于0。我们可以给出一种比值形式的比较:如果存在正实数
x<1,
n≥N时,都有
xnxn+1≤x那么,
n>N时
xn=xNk=N∏n−1xkxk+1≤xNxn−N这样,由比较判别法,就可以得到达朗贝尔判别法。
定理9.8(达朗贝尔判别法)
{xn}是每项都为正数的实数列。
(1)如果存在正实数
a<1,存在正整数
N,
n≥N时,都有
xnxn+1≤a则正项级数
∑n=1∞xn收敛
(2)如果存在正整数
N,
n≥N时,都有
xnxn+1≥1则正项级数
∑n=1∞xn发散
特别地,我们可以给出达朗贝尔判别法的极限形式
定理9.9(达朗贝尔判别法的极限形式
{xn}是每项都为正数的实数列,并且极限
n→∞limxnxn+1=a存在,则:
(1)
a<1,则正项级数
∑n=1∞xn收敛
(2)
a>1,则正项级数
∑n=1∞xn发散
(3)
a=1,则达朗贝尔判别法无法判别该级数的敛散性
根值判别法也是和几何级数比较,然而根值判别法是基于
n次方根进行的。
定理9.10(柯西根值判别法)
{xn}是非负实数列
(1)如果存在正实数
c<1及正整数
N,
n≥N,
nxn
≤c则正项级数
∑n=1∞xn收敛
(2)如果存在正整数
N,
n≥N时,都有
nxn
≥1则正项级数
∑n=1∞xn发散
同样地有其极限形式:
定理9.11(柯西根值判别法的极限形式)
{xn}是非负实数列,极限
n→∞limnxn
=a存在
(1)如果
a<1,则正项级数
∑n=1∞xn收敛
(2)如果
a>1,则正项级数
∑n=1∞xn发散
(3)如果
a=1,则根值判别法无法判别级数的敛散性
拉贝判别法
如果达朗贝尔判别法和根值判别法无法判别级数的收敛性,说明级数需要一个更精细的基准级数。这时我们采用调和级数
∑n=1∞nα1来作为基准。
首先,如果存在
0<p≤1,c>0
an≥npc≥nc所以我们只需要与
n1进行比较。其次,如果
xn>0,并且存在
N,
n≥N时,都有
xnxn+1≥n+1n或可以写成
xn+1xn≤nn+1时,就有
xn≥N+1xNn1这样,由比较审敛法,级数
∑n=1∞xn发散,此时就有
n(xn+1xn−1)≤1反之,如果
n(xn+1xn−1)≥c>1:我们先给出一个引理
引理9.1 对任意的大于1的正数
c,对任意的
1<c′<c,存在
N,
n≥N时,都有
nc+1≥(1+n1)c′
证:
对任意的
1<c′<c,由Taylor公式,有
(1+n1)c′=1+nc+nc′−c+o(n1)因此
n→∞limn((1+n1)c′−1−nc)=c′−c<0由极限的保号性,存在
N,
n≥N时,
n((1+n1)c′−1−nc)<0这就证得了不等式
因此,只要:
n(xn+1xn−1)≥c>1,那么,一定存在正整数
N,
n≥N时
xn+1xn≥1+nc≥(1+n1)c′这样,再由比较审敛法,就能得到拉贝判别法:
定理9.12(拉贝判别法)
xn>0(n≥1),
Bn=n(xn+1xn−1),则
(1)如果存在正整数
N,
n≥N时,
Bn≤1,则正项级数
∑n=1∞xn发散
(2)如果存在正整数
N及大于1的实数
c,
n≥N时,
Bn≥c,则正项级数
∑n=1∞xn收敛
拉贝判别法还有其极限形式:
定理9.13(拉贝判别法的极限形式)
xn>0(n≥1),
Bn=n(xn+1xn−1),如果
n→∞limBn=B存在
(1)
B<1则正项级数
∑n=1∞xn发散
(2)
B>1则正项级数
∑n=1∞xn收敛
(2)
B=1时拉贝判别法无法判别级数的敛散性
库默尔判别法
无论是达朗贝尔判别法,还是库默尔判别法,都是以某个基准级数利用比较判别法进行判别的,现在,我们把这个过程一般化。如果
{bn}每项都大于0,并且
∑n=1∞bn1发散,那么我们可以以此为基准来判定一个级数的发散。如果正项级数
{xn}满足:存在正数
c>0及正整数
N,
n≥N时,都有
xn≥bnc那么,
xn一定发散。同样地,我们考虑比值的形式:如果
存在正整数
N,
n≥N时,都有
xnxn+1≥bn+1bn以上条件一定满足,相当于:
bnxn+1xn−bn+1≤0我们就令
Kn=bnxn+1xn−bn+1也就是说,如果
Kn≤0在某个时刻之后成立,那么级数一定是发散的,自然地,我们会猜想,如果存在正数
c>0,
Kn≥c>0在某个时刻之后成立,那么正项级数是否收敛呢?答案是肯定的。
实际上,如果
Kn≥c>0,那么在某个时刻之后:
bnxn−bn+1xn+1≥cxn+1这就说明了数列
{bnxn}是单调下降的,并且由下界0,因此级数
∑n=1∞(bnxn−bn+1xn+1)收敛,就可以证得级数
∑n=1∞xn收敛,我们注意到,以上过程并没有用到
∑n=1∞bn1的敛散性。我们将以上推理总结为以下的库默尔判别法。
定理9.14(库默尔判别法)
{xn}和
{bn}是每项都为正数的实数列,令
Kn=bnxn+1xn−bn+1(1)如果
∑n=1∞bn1发散,并且存在正整数
N,
n≥N时,
Kn≤0,则级数
∑n=1∞xn发散
(2)如果存在正数
c,存在正整数
N,
n≥N时,
Kn≥c,则级数
∑n=1∞xn收敛
容易验证拉贝判别法和达朗贝尔判别法都是库默尔判别法的特例。同样地,可以给出库默尔判别法的极限形式。
定理9.15(库默尔判别法的极限形式)
{xn}和
{bn}是每项都为正数的实数列,令
Kn=bnxn+1xn−bn+1
∑n=1∞bn1发散,
{Kn}收敛且极限为
K
(1)
K<0则
∑n=1∞xn发散
(2)
K>0则
∑n=1∞xn收敛
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法
对于一般的级数,如果不是绝对收敛,那么我们只能借助柯西准则来对级数的敛散性进行判别。类似于广义积分,级数也有相应的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。
对任意的正整数
n,对任意的正整数
p,考虑和式:
∑k=nn+pxkyk
由阿贝尔变换,有
k=n∑n+pxkyk=xnk=n∑n+pyk+k=n∑n+p−1(xk−xk+1)i=n∑kyi(3)由等式(3)
∣k=n∑n+pxkyk∣≤∣xn∣∣k=n∑n+pyk∣+k=n∑n+p−1∣xk−xk+1∣∣i=n∑kyi∣(4)
定理9.16(狄利克雷判别法)
{xn}和
{yn}是两个实数列,如果
{xn}单调且极限为0,
{yn}的部分和序列有界,那么级数
∑n=1∞xnyn收敛
定理9.17(阿贝尔判别法)
{xn}和
{yn}是两个实数列,如果
{xn}单调有界,级数
∑n=1∞yn收敛,那么级数
∑n=1∞xnyn收敛
我们仅证明狄利克雷判别法,阿贝尔判别法的证明是类似的。
证:
设
{yn}部分和序列的界是
M>0,那么,对任意的正整数
n和
p,有
∣k=n∑n+pxkyk∣≤2M∣xn∣+2Mk=n∑n+p−1∣xk−xk+1∣≤2M∣xn∣+2M∣xn+p−xn∣≤2M(2∣xn∣+∣xn+p∣)(5)其中第二个不等号由单调性的得到,对任意的
ε>0,存在正整数
N,
n≥N时,
∣xn∣<6Mε,由不等式(5)
∣k=n∑n+pxkyk∣<ε由柯西准则,级数
∑n=1∞xnyn收敛
阿贝尔判别法的证明也是类似的,这里不证。