点与点集的关系
首先,我们给出邻域的概念。
定义2.1
x0∈R,
δ>0,称集合
{x∈R:∣x−x0∣<δ}为
x0的
δ-邻域,记为
B(x0,δ)
有了邻域的概念,就可以定义某一个点和点集之间的关系,这样给定一个点集
E,就可以对整个实空间
R上的点进行分类。
定义2.2
x0∈R,
E⊂R,则
(1)如果存在
δ0>0,
B(x0,δ0)⊂E,则称
x0是
E的内点,全体内点的集合记为
Eo,称为
E的内部
(2)如果
∀δ>0,
B(x0,δ)∩E=∅,同时,
B(x0,δ)∩Ec=∅,则称
x0是
E的边界点,记为
∂E,称为
E的边界
(3)如果存在
δ0>0,
B(x0δ0)⊂Ec,则称
x0是
E的外点
实际上,给定一个点集,平面上的点要么是内点,要么是边界点,要么是外点,并且全体外点就记为
Eco,整个实轴就被划分成三个部分。
聚点与闭集
下面,我们可以给出聚点的定义。
定义2.3
x0∈R,
E⊂R,如果对任意的
δ>0,都有
B(x0,δ)/{x0}∩E=∅则称
x0是
E的聚点,全体聚点的集合称为
E的导集,记为
E′
显然,聚点可能是边界点,也可能是内点,边界点不一定是聚点,不是聚点的边界点称为是孤立点,从几何上看,孤立点就像
E的一座座“孤岛”一样。
定义2.4
x0∈R,
E⊂R,
E′∪E称为
E的闭包,记为
E
显然,全体边界都在闭包
E内,如果点集
E是包含全体边界的,从几何上看,
E就是“封闭的”,我们就称
E是闭集
定义2.5
E⊂R,如果
E=E,则称
E是闭集
定理2.1
E是
R上的闭集的充分必要条件是
∂E⊂E
证:
充分性:如果
∂E⊂E,对任意的
x∈E,如果
x∈E′
由定义:
x∈∂E
于是,
x∈E
如果:
x∈E/E′,那么
x∈E
综上,
E⊂E,而由定义,
E⊂E
必要性:
∀x∈∂E,如果
x∈/E,按照定义,
x∈E′,从而,
E⊂E=E,矛盾,因此
x∈E
我们还可以从点列极限的角度取考虑聚点的定义。
定理2.2
E是
R上的点集,
x∈E′的充分必要条件是存在点列
{xn}⊂E,并且
xn=x,有
xn→x
证:
充分性:如果存在点列
{xn}⊂E,并且
xn=x,
有
xn→x
对任意的
δ>0,存在正整数
N,
n≥N时,有
∣xn−x∣<δ从而
B(x,δ)/{x}∩E=∅
因此,
x∈E′
必要性:如果
x∈E′,那么,
B(x,n1)/{x}∩E=∅取
xn∈B(x,n1)/{x}∩E,这样,就有
0<∣xn−x∣<n1由夹逼准则,有
n→∞limxn=0
开集与闭集的性质
现在,开集的定义,所谓开集,就是闭集去掉全部边界,这样,从几何上看,整个几何是“开放的”,因此称为开集。
定义2.6
E⊂R,如果
E=Eo,则称
E为开集
例2.1 全体邻域都是开集
证:
∀x0∈R,
∀δ>0,
∀x∈B(x0,δ),都有
∣x0−x∣<δ
令
δ0=δ−∣x0−x∣,对任意的
y∈B(x,δ0),都有
∣y−x0∣≤∣y−x∣+∣x−x0∣<δ0+∣x−x0∣=δ
从而,
y∈B(x0,δ)
定理2.3
E⊂R是开集的充分必要条件是
Ec是闭集
证:
必要性:如果
E是开集,对任意的
x∈Ec′,对任意的
δ>0,都
B(x,δ)/{x}∩Ec=∅而
E=Eo,那么,
x∈Ec
因此,
Ec是闭集
充分性:如果
Ec是闭集,对任意的
x∈E,如果对任意的
δ>0,都有
Ec∩B(x,δ)=∅那么,由定义:
x∈Ec′,再由
Ec是闭集,则
x∈Ec,矛盾。
因此,存在
δ0>0,
Ec∩B(x,δ0)=∅,即
B(x,δ0)⊂E
开集有如下性质:
定理2.4
(1)
R和
∅都是开集
(2)有限个开集的交还是开集
(3)任意个开集的并还是开集
相应地,闭集也有如下性质
定理2.5
(1)
R和
∅都是闭集
(2)有限个闭集的并是闭集
(3)任意个闭集的交是闭集
实空间的紧性
聚点定理和魏尔斯特拉斯定理
定理2.6
R上的有界无穷点集
E必有一个聚点
证:
令
S={a∈R:∣[a,+∞)∩E∣<+∞},由
E是有界集,设
M>0,
∀x∈E,有
∣x∣≤M
那么,
−M是
S的下界,由确界原理,
S存在下确界,记
m=inf(S)
由定义,对任意的
δ>0,
[a+δ,+∞)∩E是有限集,分两种情况讨论:
(1)如果
a∈/S,那么,
[a,+∞)是无穷集,于是,对任意的
δ>0,
(a,a+δ)∩E是无穷集,那么,按照聚点的定义,
a∈E′
(2)如果
a∈S,那么,按照确界的定义,对任意的
δ>0,
[a−δ,+∞)是无穷集,
[a,+∞)是有限集,从而
[a−δ,a)是无穷集,按照聚点的定义,同样有
a∈E′
需要注意的是:有界这个条件必不可少,因为自然数集是没有聚点的。由聚点定理可以直接得到以下的魏尔斯特拉斯定理:
定理2.7 任意有界数列必有收敛子列
接下来,我们就可以讨论数列极限和子列极限的关系:
定理2.8 实数列
{xn}收敛于A(有限实数或正负无穷)充分必要条件是任意子列
{xnk}都收敛到A
证:
仅证明A是有限实数的情形,其他情形的证明是类似的
必要性:如果
limn→∞xn=A,对任意的正数
ε>0,存在正整数
N,当
n≥N时,有
∣xn−x∣<ε对任意的子列
{xnk},存在正整数
K,
k≥K时,都有
nk≥N,从而,
∣xnk−x∣<ε充分性:如果对任意的子列都收敛到
A,但
{xn}不收敛到
A,那么存在正数
ε0,对任意的正整数
N,存在
n≥N,满足:
∣xn−x∣≥ε0这样,就可以取得子列
{xnk},满足:
∣xnk−x∣≥ε0但
{xnk}不收敛到
A,矛盾,因此,
{xn}收敛到
A
定理2.9有界实数列
{xn}不收敛的充分必要条件是存在两个极限不同的收敛子列
证:
充分性是显然的,只需要证明必要性
由定理2.7,存在收敛子列
{xnk},设
k→∞limxnk=A但
n→∞limxn=A这样,存在正数
ε0>0就可以取得子列
{xmk},满足:
∣xmk−A∣≥ε0而
{xmk}是有界的,那么
{xmk}存在收敛子列,当然其极限不等于A
定理2.10
(1)
{xn}无上界的充分必要条件存在收敛到
+∞的子列
(2)
{xn}无下界的充分必要条件存在收敛到
−∞的子列
(3)
{xn}无上界,但不收敛到
+∞的充分必要条件是存在两个子列,一个收敛到
+∞,一个收敛到有限数或
−∞
(4)
{xn}无下界,但不收敛到
−∞的充分必要条件是存在两个子列,一个收敛到
−∞,一个收敛到有限数或
+∞
证:
(1)和(2)仅证明(1),(2)的证明是类似的
由
{xn}无上界,那么对任意的
M>0,对任意的
N,存在
n≥N,有
xn≥M
按以下步骤取一个子列:
第1步:存在
n1>1,
xn1>1
第2步:存在
n2>max(n1,2),
xn2>2
第3步:存在
n3>max(n2,3),
xn3>3
⋯
以此类推
该子列
{xnk}即满足条件
(3)和(4)仅证明(3),(4)的证明是类似的
首先,有
{xn}无上界,由(1),可以取得一个收敛到
+∞的子列
不妨假设
{xn}有下界,否则由(2)结论是显然成立的,那么,由于
{xn}不收敛到
+∞,存在正数
M>0,对任意的正整数
N,存在正整数
n0≥N,满足
xn0≤M
也就是说,可以取得
{xn}的一个有界子列,再由定理2.7可以证得结论
综合上面所有的命题,有如下推论:
推论2.1
实数列
{xn}不广义收敛的充分必要条件是存在两个子列
{xnk}和
{xmk},满足:
k→∞limxnk=A
k→∞limxmk=B并且,
A=B
实际上,数列极限反映了数列整体变动的一个趋势,这个趋势无论如何取子列,都是存在的,如果可以分离出两个趋势不同的子列,那么一定不收敛,以上的定理共同说明了这个问题。这样,我们就可以对所有的实数列进行分类:
数列有界性 |
数列收敛性 |
子列收敛性 |
有界 |
不收敛 |
存在两个极限不同的收敛子列 |
有界 |
收敛到A |
所有子列都收敛到A |
无上界 |
收敛到
+∞ |
所有子列都收敛到
+∞ |
无上界 |
不收敛到
+∞ |
有一个子列收敛到有限数,一个子列收敛到
+∞ |
无下界 |
收敛到
−∞ |
所有子列都收敛到
−∞ |
无下界 |
不收敛到
−∞ |
有一个子列收敛到有限数,有一个子列收敛到
−∞ |
有限覆盖定理与闭集套定理
现在,我们来证明两个重要的定理——有限覆盖定理和闭集套定理。我们先来介绍闭集套定理。
定义2.7
E⊂R是有界集,定义其直径为
diam(E)=sup{∣x1−x2∣:x1∈E,x2∈E}
定义2.8
{En}是渐降的有界闭集列,并且,
limn→∞diam(En)=0,则称
{En}是
R上的闭集套
定理2.11(闭集套定理)
{En}是
R上的一个闭集套,存在唯一的
x∈⋂n=1∞En
证:
取
xn∈En
首先,
{xn}是有界数列。
由定理2.7,存在收敛子列
{xnk},设
limk→∞xnk=x0
下面我们证明:
x0∈⋂n=1∞En
(1)首先我们证明:
limn→∞xn=x0
首先,
∀ε>0,存在正整数
N1,
n≥N1时,有
diam(En)<2ε存在正整数
K1,
k≥K1时,有
nk≥N1又存在正整数
K2,
k≥K2时,有
∣xnk−x0∣<2ε令
N2=nmax(K1,K2),当
n≥max(N1,N2)时,有
∣xn−x0∣≤∣xn−xN2∣+∣xN2−x0∣<ε(2)其次,对任意
n≥1,对任意的
k≥n,有
xk∈En
由
En是闭集,有
limn→∞xn=x0∈En
这样就证得了存在性
(3)唯一性由
limn→∞diam(En)=0是显然的
定义2.9
{Et:t∈T}是一系列开集,其中
T是指标集,
E是一个点集,如果
E⊂⋃t∈TEt,则称
{Et:t∈T}是
E的一个开覆盖,如果
E的任意开覆盖都有一个有限的子覆盖,那么,称
E可以被有限覆盖
定理2.12 任意有界闭集可以被有限覆盖
证:
设
E是有界闭集,
S={Et:t∈T}是
E的一个无穷开覆盖
反证法,假设
E不能被
S有限覆盖,令
m=inf(E),
M=sup(E),则
[m,M]∩E=E
按以下步骤取一个闭区间套:
第1步:将区间
[m,M]二等分为
I11和
I21,则
I11∩E和
I21∩E至少有其一不能被
S有限覆盖且非空,设其为
I1
第2步:将区间
I1二等分为
I12和
I22,则
I12∩E和
I22∩E至少有其一不能被
S有限覆盖且非空,设其为
I2
⋯
以此类推,得到一个不能被
S有限覆盖的闭集套
{In∩E}
由定理\ref{th_close_set},存在
x0∈⋂n=1∞In∩E
存在开集
Et0,有
x0∈Et0,存在
δ0>0,有
B(x0,δ0)⊂Et0
又存在正整数
N,
n≥N时,有
diam(In∩E)<δ0,而
x0∈In∩E,对任意的
x∈In∩E,有
∣x0−x∣<δ0因此,
In∩E⊂B(x0,δ0)⊂Et0,矛盾。矛盾产生的原因是
E不能被
S有限覆盖
实空间的完备性——柯西收敛原理
最后,我们来证明实空间的一个重要的性质,也就是完备性。首先,收敛的数列应当满足什么条件呢?一个收敛数列,最终会在某个数附近波动,最终波动幅度越来越小。反过来,如果一个数列最终波动幅度越来越小,是否一定收敛呢?
定义2.10 如果对任意的数列
{xn},满足:
∀ε>0,存在正整数
N,当
n,m≥N,都有
∣xn−xm∣<ε则称
{xn}是柯西列
定义2.11 我们称一个数系
S是完备的,如果全部柯西列都是收敛列
定理2.13(柯西收敛原理) 实数系是完备的,即对任意的实数列
{xn},
{xn}是收敛列的充分必要条件是
{xn}时柯西列
证:
必要性,如果
{xn}是收敛列,设
limn→∞xn=A,对任意的
ε>0,存在正整数
N,当
n≥N时,有
∣xn−A∣<2ε则
∣xn−xm∣≤∣xn−A∣+∣xm−A∣<ε充分性:如果
{xn}是柯西列,则存在正整数
N1,当
n,m≥N1时,有
∣xn−xm∣<1则
n≥N1时,有
∣xn∣≤∣xN1∣+∣xn+xN1∣≤∣xN1∣+1从而:
∣xn∣≤max(∣x1∣,⋯,∣xN1−1∣,∣xN1∣+1)这样,
{xn}是有界数列,有魏尔斯特拉斯定理,存在收敛子列
{xnk},设
limk→∞xnk=A,对任意的
ε>0,存在正整数
N2,
n,m≥N2,都有
∣xn−xm∣<2ε又存在正整数
K,
k≥K,有
nk≥N2,同时,
∣xnk−A∣<2ε
∣xn−A∣≤∣xn−xnK∣+∣xnK−A∣<ε这样就证得了
limn→∞xn=A
实数系是完备的含义是:“该有极限的数列都有极限”,在这个前提下,对极限运算进行讨论才是有意义的,而有理数系不具有这个性质。