广义积分的定义与计算
定积分的定义存在某种程度的缺陷,比如:我们经常要计算一个无穷区间的积分,这样,我们就没办法按照分割-取点-求和-取极限四个步骤来定义积分。有时候,函数在我们要计算积分的区间上无界的,按照上一章所证明的结果,如果
f(x)在闭区间
[a,b]上可积,那么
f(x)就必须要在
[a,b]上有界,但有时无界条件下我们也需要计算某种积分。
我们先考虑无穷区间上的积分:
f(x)在
[a,+∞)上有定义,那么我们应当如何计算
f(x)在无穷区间上的积分呢?实际上,我们已经有了
f(x)在有限区间
[a,x]上的积分,借助函数极限的定义,我们就可以将无穷区间上的积分定义为
∫a+∞f(x)dx=x→+∞lim∫axf(x)dx下面我们给出一个正式的定义
定义8.1
f(x)是定义在
[a,+∞)((−∞,a])上的函数,如果对任意的
x>a(x<a),
f(x)在
[a,x]([x,a])上可积,如果极限
x→+∞lim∫axf(t)dt(x→−∞lim∫xaf(t)dt)存在,则称
f(x)在
[a,+∞)((−∞,a])上可积,该极限的值称为
f(x)在\
[a,+∞)((−∞,a])的积分,记为
∫a+∞f(x)dx(∫−∞af(x)dx)
定义8.2
f(x)是
(−∞,+∞)上的函数,如果
f(x)在任意闭区间上可积,并且任取
a∈R,
f(x)在
[a,+∞),(−∞,a]上可积。定义:
∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx
同样地,对区间
(a,b]上的无界函数,也可以以这种方式定义积分。
定义8.3
f(x)是定义在
(a,b]上的无界函数,如果对任意的
a<x<b,
f(x)在
[x,b]上可积,如果极限
x→a+lim∫xbf(t)dt存在,称
f(x)在
(a,b]上可积,
a为
f(x)的瑕点
∫abf(x)dx=x→a+lim∫xbf(t)dt称为
f(x)在
(a,b]上的瑕积分
定义8.4
f(x)是定义在
[b,a)上的无界函数,如果对任意的
b<x<a,
f(x)在
[b,x]上可积,如果极限
x→a−lim∫axf(t)dt存在,称
f(x)在
(a,b]上可积,
a为
f(x)的瑕点
∫abf(x)dx=x→a−lim∫bxf(t)dt称为
f(x)在
[b,a)上的瑕积分
无论是瑕积分,还是无穷积分,都是以函数极限的方式来定义,就要考虑极限的存在性问题。如果被积函数
f(x)≥0,那么变限积分
∫axf(t)dt就是单调的,那么只要
∫axf(t)dt有界,
[a,+∞)的积分就一定存在,如果无界,积分就为无穷。
定义8.5
f(x)是定义为
[a,+∞)上的函数,如果
∣f(x)∣在
[a,+∞)上可积,则称
∫a+∞f(x)dx绝对收敛,如果
f(x)在
[a,+∞)上不绝对收敛,但
f(x)在
[a,+∞)上可积,称
∫a+∞f(x)dx条件收敛
其他类型的广义积分的绝对收敛和条件收敛的定义是类似的,这里不一一列举。
定理8.1
f(x)是定义为
[a,+∞)上的函数,如果
∫a+∞f(x)dx绝对收敛,
∫a+∞f(x)dx条件收敛
要证明定理8.1,我们要给出无穷积分收敛的柯西准则。
定理8.2
f(x)是定义为
[a,+∞)上的函数,
f(x)在
[a,x]上可积(对任意的
a<x),
f(x)在
[a,+∞)可积的充要条件是:对任意的
ε>0,存在
M>0,当
x2>x1>M时,都有
∣∫x1x2f(x)dx∣<ε
定理8.2的证明可以直接套用函数极限的柯西准则给出。对任意的
a≤x1<x2,由定积分的绝对值性质,有
∣∫x1x2f(x)dx∣≤∫x1x2∣f(x)∣dx这样直接用定理8.2就可以证得定理8.1,其他广义积分也有类似的定理,这里就不一一列举了。
由微积分基本定理,如果
f(x)在
[a,+∞)上的原函数存在,并且对任意的
x>a,
f(x)在
[a,x]上可积,那么,有
∫axf(t)dt=F(x)−F(a)则
f(x)在
[a,+∞)上可积的充要条件就是
x→+∞limF(x)存在,并且
∫axf(t)dt=F(+∞)−F(a)这就是无穷积分的微积分基本定理。对其他类型的广义积分,也有类似的微积分基本定理,这里就不一一列出。同样地,也可以给出
无穷积分的换元积分法和分部积分法,以换元积分法为例,如果
a>0,
f(x)在
[a,+∞)上
连续,令
t=x1,由定积分的换元积分法,就有
∫abf(x)dx=∫b1a1t21f(t1)dt令
b→+∞,就有
∫a+∞f(x)dx=∫0a1t21f(t1)dt这样,就将无穷积分化为瑕积分或定积分。
广义积分审敛法
比较判别法
由定理8.1,判断广义积分的收敛,首先应当从其绝对值函数入手,如果广义积分绝对收敛,就可以直接判断广义积分本身收敛。那么如何判断非负广义积分的收敛性呢,我们可以选择某些基准,通过函数与这些基准函数的比较,来判断广义积分的收敛性。
例8.1
α>0,a>0,判断
∫a+∞xα1dx的敛散性
解:
α=1时
∫a+∞xα1dx=1−α1[x→+∞limx−α+1−1−αa1−α]当
α>1时,
∫a+∞xα1dx收敛
当
0<α<1时,
∫a+∞xα1dx发散
当
α=1时
∫a+∞xdx=x→+∞limlnx−lna而
limx→+∞不存在,因此积分发散。
现在,我们有了一个判断的基准,由单调收敛定理,就有如下定理
定理8.3
f(x)在
[a,+∞)上非负,对任意的
x>a,
f(x)在
[a,x]上可积,则
∫a+∞f(x)dx收敛的充要条件是存在正数
M>0,对任意的
x>a,
∫axf(t)dt≤M
就有如下的比较判断法
定理8.4(比较判别法)
f(x)和
g(x)都是
[a,+∞)上的非负函数,对任意的
x>a,
f(x)和
g(x)在
[a,x]上可积,如果存在正数
c1>0,c2>0,有
c1f(x)≤c2g(x)∀x≥a
则:(1)
∫a+∞f(x)dx发散,则
∫a+∞g(x)dx发散
(2)
∫a+∞g(x)dx收敛,则
∫a+∞f(x)dx收敛
定理8.3还有如下的极限形式:
定理8.5
f(x)和
g(x)都是
[a,+∞)上的非负函数,对任意的
x>a,
f(x)和
g(x)在
[a,x]上可积,如果极限
x→+∞limg(x)f(x)=a存在,则:
(1)
a=0,如果
∫a+∞g(x)dx收敛,则
∫a+∞f(x)dx收敛,如果
∫a+∞f(x)dx发散,则
∫a+∞g(x)dx发散
(2)
0<a<+∞,则
∫a+∞g(x)dx和
∫a+∞f(x)dx同敛散
这样,我们就可以通过和某个基准的比较,来判断无穷限积分的敛散性,对于瑕积分,也有类似的结论,这里我们就不一一列举了。我们来列举几个习题来说明如何使用比较判别法。
例8.2 讨论无穷积分
∫0+∞xn+x2+1x2dx的敛散性(
n>0)
解:
情形1:
0<n<2时:
x→+∞limxn+x2+1x2=1因此,无穷积分发散,
n=2时同理
情形2:
n>2时:
x→+∞limxn+x2+1x2xn−2=1因此,无穷积分和
∫1+∞xn−21dx同敛散,因此:
2<n≤3时,无穷积分发散
n>3时,无穷积分收敛
例8.3 判断
∫1+∞xcosxsinx1dx的敛散性
解:
实际上
∣xcosxsinx1∣≤xsinx1而
x→+∞limxx2sinx1=1因此,
∫1+∞xsinx1和
∫1+∞x2dx同敛散,因此,无穷积分绝对收敛,因此收敛。
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法
对于条件收敛的广义积分,要判断其敛散性有一定的困难,一般情况下需要借助柯西收敛准则。但是,某些形式的广义积分有一些特殊的判断方法,由积分第二中值定理,如果
f(x)在
[a,+∞)上单调,
g(x)在
[a,x](∀x>a)上可积,对任意的
a<x1<x2,存在
ξ∈[x1,x2],有
∫x1x2f(x)g(x)dx=f(x1)∫x1ξg(x)dx+f(x2)∫ξx2g(x)dx再结合柯西收敛原理,就不难得到狄利克雷判别法和阿贝尔判别法:
定理8.6(狄利克雷判别法)
f(x)在
[a,+∞)上单调,并且
limx→+∞f(x)=0,对任意的
x>a,
g(x)在
[a,x]上可积,并且存在
M>0,对任意的
x>a
∣∫axg(t)dt∣≤M则无穷限积分
∫a+∞f(x)g(x)dx收敛
定理8.7(阿贝尔判别法)
f(x)在
[a,+∞)上单调有界,对任意的
x>a,
g(x)在\
[a,x]上可积,并且
∫a+∞g(x)dx收敛,则无穷限积分
∫a+∞f(x)g(x)dx收敛