OpenGL之矩阵变换的原理分析与数学推导

什么是矩阵变换？

矩阵变换示意图
这张图比较直观地展示了OpenGL矩阵变换的过程，下面详解一下其中的含义：

首先OpenGL有个世界坐标系，我们渲染的物体就是在世界坐标系中，模型需要放到世界坐标系中，那么当还没放的时候，模型就和世界坐标系没有联系，它就还处于自己的坐标系中，叫做物体坐标系（模型坐标系、局部空间、局部坐标系），也就是图中的LOCAL SPACE；
当把模型放到世界坐标系中，模型就在世界坐标系里有了坐标，也就是原来在LOCAL SPACE中的那些坐标值，变成了世界坐标系中的坐标值，帮助我们完成这个变换的就是模型矩阵，对应图中的MODEL MATRIX，于是这样就把模型放到了世界坐标系WORLD SPACE中；
放到世界坐标系后，是不是就确定了渲染出来看到的样子？还没有，大家可以想像一下，把一个东西放在世界坐标系的某个地方，可以从近处看观察它，也可以从远处观察它，还可以从上下左右观察它，甚至还可以倒着观察它，因些还需要确定观察它的状态。OpenGL里虚拟出了一个Camera（特别注意，这里的Camera不是指硬件的Camera，可以理解为一个观者者的角度），从API的层面上看，只需要设置Camera的位置、朝向的点坐标、以及Camera的上方向向量就能将观察状态定下来，而这些设置最终会转换成OpenGL中的视图矩阵，对应图中的VIEW MATRIX 。经过View Matrix的变换后，观察它的结果就确定了，图中是从距离它一定的距离、上往下观察它，这时候的点坐标就来到了视图坐标系下，对应图中的VIEW SPACE ，这时候，能看到什么东西，基本已经确定了。
不过还有一步投影变换，这是什么东西？大家想像一下，看到同一个东西，是不是通常都是近大远小？那么如何实现近大远小？就要靠投影变换，OpenGL提供正交投影和透视投影，正交投影没有近大远小的效果，不管在什么距离上看，都一样大，透视投影则有近大远小的效果，也是符合我们实际生活的一种效果，透视投影应用得比较多，可看下面这张经典图：完成投影变换就需要靠投影矩阵，即图中的PROJECTION MATRIX
可以从图中看到，经过投影变换后就到了裁剪坐标系CLIP SPACE，什么？裁剪坐标系？不是投影吗？裁剪什么东西？实际上，投影操作也顺带做了裁剪，所谓裁剪就是说把那些视野内看不到的东西去掉，什么是视野？就是在生成投影矩阵时会设置近平面、远平面、视角，这些东西会构成一个可见的空间，对应图中的虚线和近平面、远平面包围起来的空间；下一步就是上屏（如果是离屏渲染就是到一个frame buffer上），这些坐标毕竟只是OpenGL坐标系下的坐标，那么最终以什么样的大小呈现在屏幕上呢？就要通过视口变换映射到屏幕上。

矩阵变换的数学推导

模型矩阵（Model Matrix）推导

在数学中图形的变换存在平移、缩放、旋转三种基本变换，将模型放到世界坐标系中就是利用这三种变换的组合来实现的，下面来看一下平移、缩放、旋转三种变换对应的矩阵：

平移变换
缩放变换
旋转变换（绕x轴旋转、绕y轴旋转、绕z轴旋转）

视图矩阵（View Matrix）推导

一、视图矩阵对应Camera的位置、朝向的点坐标、以及Camera的上方向向量：
在这里插入图片描述
二、怎样通过Camera的位置、朝向的点坐标、以及Camera的上方向向量得到对应的View Matrix？

给Camera定一个坐标系：
将Camera的坐标记为eye，朝向的点坐标记为lookat，上方向向量记为up，那么： N向量：eye - lookat，U向量：up X N并归一化，V向量：N X U并归一化；
要把Camera以某种姿态放在世界坐标系中的某个地方，这个放的过程就是对应Camera的旋转和平移，这里表示为TR，其中T表示平稳变换矩阵，R表示旋转变换矩阵。虽然设置的是Camera，但最终动的是点坐标，因为Camera压根就不存在，是一个假想的东西。假设不动摄像机，动坐标点，那么对坐标点的变换就应该是对相机变换的逆变换 R^-1 T^-1（就是对TR整体求逆矩阵），注意，这里的 R^-1 T^-1 看起来貌不惊人，实际上就是要求的View Matrix。根据前面的知识，就很容易得到T^-1:
这个直观上也好理解，比如本来是平移Tx，逆过来就是平移-Tx，依此类推。再回顾一下目标 R^-1 T^-1 ，现在还差 R^-1，现在再次回到假想的Camera，前面说要对它做TR，当做完R后，Camera会旋转至某个姿态：
XYZ和UVN都可以看成是一组基，根据线性代数公式可将一个点在XYZ基下的坐标转成在UVN基下的坐标，R就相当于是把基XYZ变换成UVN的变换矩阵，其中：
假设

则有

那么
由于R是正交矩阵，有性质：R^-1 = R^T （R^T代表R的转置），为什么R是正交矩阵？方阵A正交的充要条件是A的行（列) 向量组是单位正交向量组。那么：
现在T^-1 和 R^-1 都有了，R^-1 T^-1 也就是最终的View Matrix可以很容易地计算出来了，因为OpenGL中坐标是4维的，所以这里将矩阵写成4*4的：

投影矩阵（Projection Matrix）推导

投影矩阵是由视野决定的，而视野又是由近平面、远平面和视角决定的，把视野在坐标系中画出来，请看下图：
简单起见，不妨把Camera摆在原点，让它朝z轴负方向来讨论问题： h表示近平面高度， w表示近平面宽度，n表示Camera到近平面的距离，f表示Camera到远平面的距， P代表视野中的一个点，那么接下来要求的投影矩阵，就是能将P点正确地投影到近平面上，设P(x0, y0, z0)，从y轴正向往负向看，即看xoz平面，看到的画面是这样的：
设投影后的x坐标为x1 ，由三角形相似原理则易得：

那么
设l和r分别为近平面左、右边框的x坐标，则有l=-w/2，r=w/2，投影归一化后坐标范围为 -1～1，最左边是-1，最右边是1，l和r归一化至-1~1是线性变换，于是列一个kx+b类型的方程组并解得k和b：
令Xn表示点P的x坐标投影归一化后的值，代入kx+b得：

同理可得点P的y坐标投影归一化后的值Yn：
构造带有未知数的投影矩阵，然后求解，设待投影点为(x0,y0,z0,1)，先构造投影矩阵的第一第二行：
投影矩阵仅完成投影变换，不会归一化，上面的x2、y2、z2指的是投影后归一化前的值，还记得前面计算的xn和yn吗？用一个括号把其中一个部分括了起来，外面乘了一个因子（-1/z0），后面会说这个因子是什么东西，现在只需要知道，x2、y2实际上就是前面括号里那堆东西，所以上面投影矩阵的第一行和第二行就自然能轻松地构造出来。
接下来就构造第三第四行，先看第四行，第四行计算的结果是投影后的第四维坐标，也就是w，前面提到了归一化，而OpenGL的归一化操作就是通过将坐标除以其对应的w值来完成的，再回头看前面计算的xn和yn，它们是归一化后的值。还记得括号外面乘了一个因子（-1/z0）吗？乘（-1/z0）可以看成是除以-z0，因此希望w就是-z0，于是构造第四行让w的计算结果为-z0：
接下来就是最复杂的第三行，如何去构造第三行？第三行有4个值，现在都不知道是什么，需要构造4个未知数吗？对于解方程来说，在能解决问题的情况下，未知数能少就尽量少，不然只会徒增烦恼。这里其实不需要4个未知数，为什么呢？那就要理解z2这个值是什么东西，它就是投影之后未归一化的深度值，而深度和x0、y0没有关系，这个如何理解？就是说我把一个东西放在左，上边，还是右边，不影响它的深度，要改变深度需要前后移动。既然z2和x0、y0没有关系，那么x0、y0不管是什么值，都不会影响z2的值，因此用0去乘x0、y0，即第三行的第一第二个元素是0。再看第三行的第三第四个元素，假设第三个元素是0，会发生是什么？那么z2就等于B，而B最后求出来放到矩阵中肯定是一个定值，这就意味着z2也是定值，于是z2就无法表示不同的点的不同深度，这不是我们想要的结果，因此第三个元素不能是0，是一个待求的未知数。同理，假设第四个元素是0会发生什么？这样投影矩阵第四列全是0，根据线性代数的知识，这个矩阵行列式等0，它必定不可逆，而我们希望投影矩阵是可逆的，这样我们可以对坐标做一些逆变换来实现一些特殊的功能，因此第四个元素也不能是0，于是设它为一个未知数。这样，就构造出了一个包含未知数A和B的投影矩阵：
求解A和B：将z0为-f和-n代进去，-f就是远平面，-n就是近平面，求归一化后的坐标，-f最远，深度最深，归一化后是1，反之，-n代进去后是-1（深度是值越大越深），于是有：

可得：

于是投影矩阵为：

矩阵变换的函数解析

平移

    // 创建单元矩阵
    M3DMatrix44f m3;
    m3dLoadIdentity44(m3);

    /* m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, float x, float y, float z)
       参数1:结果矩阵,平移之后的结果矩阵
       参数2:沿着X轴移动多少,正数\负数
       参数3:沿着Y轴移动多少,正数\负数
       参数4:沿着Z轴移动多少,正数\负数
     */
    m3dTranslationMatrix44(m3, 0.0f, 10.0f, 0.0f);

旋转

     /* m3dRotationMatrix44(M3DMatrix44f m, float angle, float x, float y, float z);
       参数1:结果矩阵,旋转之后的结果矩阵
       参数2:旋转多少弧度
       参数3:是否围绕X轴旋转,是(1),不是(0)
       参数4:是否围绕Y轴旋转,是(1),不是(0)
       参数5:是否围绕Z轴旋转,是(1),不是(0)
     */
    m3dRotationMatrix44(m3, m3dDegToRad(45.0f), 1.0f, 0.0f, 0.0f);

缩放

    /* void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, float xScale, float yScale, float zScale)
       参数1:结果矩阵
       参数2:围绕X轴放大\缩小;放大x>1,缩小:0.5f
       参数3:围绕Y轴放大\缩小;放大x>1,缩小:0.5f
       参数4:围绕Z轴放大\缩小;放大x>1,缩小:0.5f
     */
    m3dScaleMatrix44(m3, 1.0f, 10.0f, 1.0f);