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在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

0 < grid.length <= 200
0 < grid[0].length <= 200

解题思路

动态规划简单问题

题目要求从棋盘（0，0）处开始走只能向右或者向下，求走到棋盘右下角的经过元素总和最大值。
那么我们可以转换思想，从终点出发向左或者向上移动，直到移动到起点（0,0），那么如何去选择经过元素的总和最大值呢，当然是Max（当前元素向左经过的元素值，当前向上经过的元素值）+当前元素
但是我们也发现了，若是处于第一行除去（0，0）点其余元素只能向上走，若是处于第一列除去（0，0）点其余元素只能向左走。

于是状态转移方程就写出来了：

• dp[i][j] = grid[i][j] ( i=0&&j=0) 处于（0，0）点 初始条件
• dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j] (i == 0 && j != 0) 处于第一列只能向左走
• dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j] (i != 0 && j == 0) 处于第一行只能向上走
• dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j] (i != 0 && j != 0) 其余满足条件的位置 可上可左

代码1

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int row = grid.length;
        int col = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[row + 1][col + 1];
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            for (int j = 0; j < col; j++) {
              //处于（0，0）点   初始条件
                if (i == 0 && j == 0) {
                    dp[i][j] = grid[i][j];
                }
                //处于第一列只能向左走
                if (i == 0 && j != 0) {
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j];
                } else if (i != 0 && j == 0) {
                     //  处于第一行只能向上走
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j];
                    //(i != 0 && j != 0)   其余满足条件的位置 可上可左
                } else if (i != 0 && j != 0) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
                }
            }
        }
        return dp[row - 1][col - 1];
    }
}

其实我们可以优化一下,其实当前位置的路径和和当前位置的上一个元素和左元素有关，所以我们可以舍弃dp数组，再原数组上直接修改，是没有影响的。

优化后代码

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int row = grid.length;
        int col = grid[0].length;
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            for (int j = 0; j < col; j++) {
              //处于（0，0）点   初始条件
                if (i == 0 && j == 0) {
                    continue;
                }
                 //处于第一列只能向左走
                if (i == 0 && j != 0) {
                    grid[i][j] += grid[i][j - 1];
                } else if (i != 0 && j == 0) {
                  //  处于第一行只能向上走
                    grid[i][j] += grid[i - 1][j];
                } else if (i != 0 && j != 0) {
                   //(i != 0 && j != 0)   其余满足条件的位置 可上可左
                    grid[i][j] += Math.max(grid[i][j - 1], grid[i - 1][j]);
                }
            }
        }
        return grid[row - 1][col - 1];
    }
}