定义
一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封,他把这n封信都装错了信封,问都装错信封的装法有多少种?
推导
显然数字小可以枚举如:dp[1]=0,dp[2]=1;
对于排列数较多的情况,难以采用枚举法。这时可以用递归思想推导错排数的递回关系式。
当n>=3时不妨设n排在了第k位,其中k≠n,也就是 。那么考虑第n位的情况。
当k排在第n位时,除了n和k以外还有n-2个数,其错排数为dp[n-2]。
当k不排在第n位时,那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”,这时的包括k在内的剩下n-1个数的每一种错排,都等价于只有n-1个数时的错排(只是其中的第k位会换成第n位)。其错排数为dp[n-1]。
所以当n排在第k位时共有dp[n-2]+dp[n-1]种错排方法,又k有从1到n-1共n-1种取法,我们可以得到:
公式
错排还有一个公式。利用累加法求出
模板题
代码
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<unordered_map>
#define fi first
#define se second
#define debug printf(" I am here\n");
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const double eps=1e-10;
int n;
ll dp[40];
signed main(){
dp[1]=0,dp[2]=1;
for(int i=3;i<=20;i++){
dp[i]=1ll*(i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2]);
}
while(scanf("%d",&n)!=-1){
printf("%lld\n",dp[n]);
}
return 0;
}
还有一篇适合入门的错排讲解:https://www.luogu.com.cn/blog/P6174/post-cuo-pai