我们第三篇的内容已经讲了有一半的章节了，“第三篇——基本原理”的章节比较多，我们再来看一下第三篇的大目录。可以看出从“第12章——距离探测”开始，每章的页数明显增加，知识量也对应增加，这些都是非常重要的内容。
今天我们将开始第13章——雷达方程。本章目录如下：
13. 雷达方程：它能告诉我们什么，不能告诉我们什么？
13.1 通用雷达方程
- 13.1.1 忽略因素
- 13.1.2 雷达方程进一步的启发
- 13.1.3 平均功率
- 13.1.4 噪声
- 13.1.5 目标照射时间
- 13.1.6 RCS
- 13.1.7 天线尺寸
- 13.1.8 波长
13.2 立体扫描的雷达方程？
- 13.2.1 简化推导过程
- 13.2.2 立体扫描方程能告诉我们什么？
13.3 RCS的波动
13.4 检测概率
- 13.4.1 决定一个可接受的虚警率
- 13.4.2 计算虚警概率
- 13.4.3 设定检测门限
- 13.4.4 确定所需的信噪比
- 13.4.5 计算距离
13.5 累计检测概率
13.6 总结
13.7 一些要记住的关系式
我们先回顾一下上一章得到的几个公式：
通过这几个公式可以得到积累时间tint内，接收到的目标的能量公式为
上式左边最小时，距离R可取到最大，记雷达可检测到的最小目标能量为Smin，公式变化可得到雷达的最大探测距离Rmax为：
使用峰值功率P代替平均功率，使用脉宽时间τ代替tint，可以得到单个脉冲的最大探测距离为：
注：这里原书中笔误了，将t改为τ。
雷达方程是理想化的方程，它忽略了很多因素对探测距离的影响：
- 大气的吸收和散射；
- 目标没有一直位于波束中心；
- 滤波效果不好，引入了额外的噪声；
- 目标未处于多普勒滤波器中心；
- 不完全积累；
- 环境恶劣，雷达系统性能降低等。
回答本章标题所问，雷达方程其实告诉了我们很多信息。
1）四次方根。看雷达方程右式，为了增加探测距离，我们增加或减少右式任何一项，最大探测距离的增幅都要缩水到四次方根，例如将发射功率翻了一倍，探测距离只变为原来的2的四次方根倍即1.19倍。要增加最大探测距离好难啊。。。
2）分子分母。从信噪比公式（蓝色底）中，为了增加探测距离，我们还可以看出降低等效温度Ts、降低噪声系数Fn、降低带宽B、增加积累时间可以起到和增加发射功率一样的效果。波长不用看，因为大气衰减雷达方程没有考虑。
另外，我们发现分子上只有天线有效面积其实是带平方的，因为G也与Ae成正比。假设天线时圆形或者方形的，则天线面积又与天线直径的平方成正比，故增大天线直径，可以同比例的增加探测距离，如将天线直径增大4倍，探测距离也将增大4倍。需要注意的是波束宽度与天线直径成反比（如图13-15），若想同比例增大探测距离还需注意积累时间要相同（要降低扫描速率）。关于波束宽度的知识可以回顾一下之前的文章PART-III.2。
3）RCS。两个目标RCS相差16倍，探测距离只差1倍。如果形状材质接近的两架飞机，一架飞机的体型是另一架的16倍（如固定翼无人机和大型轰炸机），雷达对它们的探测距离只差两倍。。。
接下来我们看看立体扫描，如图13-15就是立体扫描，它扫描了两个维度的角平面，再加上一个距离维度，形成了立体扫描。我们上文提到了，扫描速率与积累时间的关系，那么在立体扫描下，雷达方程如何变化呢，答案如下图所示。
这个简化的雷达方程告诉我们，在立体扫描情况下，要想提高探测距离，要从提高平均功率、天线孔径、积累时间着手。
雷达方程中由于RCS的大小一直处于波动状态，所以导致目标的探测距离也在波动，所以能不能检测到目标就成了一个概率问题。上一篇文章，我们简要介绍了检测概率、虚警概率这两个概念，现在我们来好好算一下概率。
首先引入一个概念叫单扫概率（可以理解为检测概率），说的是在给定距离上雷达波扫描过目标一次，检测到给定目标的概率。很显然距离越近概率越高，如下图所示，单扫概率为50%的距离记为R50。
那在设计雷达的时候，想要确定单扫概率为某概率的距离（如R80）等于多少，该怎么计算呢？步骤如下：
1.决定系统可接受的虚警时间。注意区分虚警率和虚警概率，虚警率(FAR)是单位时间内虚警发生的频率，它是虚警时间(记为tfa)的倒数。对于战斗机上的机载雷达，1分钟以上的虚警时间就可以接受；
2.对单个门限检测器，计算出相应的虚警概率（记为Pfa）值。虚警时间的计算公式为：
又，N=NRG×NDP
则，
如果你对这个公式比较迷惑的话，可以看看原书中对轮盘游戏的类比。PS这里坚决反对赌博哈；
3.基于噪声的统计特性（如图13-25），寻找一个可将虚警概率限制在上一步计算的值内的门限。
图中黄色区域的面积就是Pfa的值。将P(V)函数对V求积分，再用1减，就可以找到对应的阈值门限VT与Pfa的关系，如下图所示（更正下图中的公式，去掉分母上的负号），通过图13-26可以很方便的找出Pfa对应的阈值门限VT；
确定积累信噪比的平均值，根据上一步求得的阈值门限VT，其实是检测概率和虚警概率一起计算或查表得到SNR的平均值，陈伯孝老师的《现代雷达系统分析与设计》第八章中有详细论述，这里就不展开了；
4.计算出获得这个信噪比的距离，即R80。将上一步求得的S/N以及雷达的其他参数代入下式，即可就得R80。
下面我们来实际计算下阈值门限怎么求，假设某雷达可以接受的虚警时间是2分钟，距离门200个，一帧积累512个脉冲，积累时间10毫秒。求VT。
根据公式：
可以求得Pfa为8.14*10^-10 %。又
代入Pfa的值，可以求得
最后，我们再来总结一下雷达方程的推导和演变过程，如下图所示，这张图是原书作者总结的，非常好，展示了回波信号能量和噪声能量的公式推导过程，得到了4种形式的回波能量公式以及2种噪声能量形式。
这次更新的文章计算公式比较多，建议大家实际动笔推一推算一算。
好了，本章的扩展阅读如下：
本章的问题比较长：
1.单次扫描特定目标的检测概率为0.25。目标在16次扫描中至少被检测到一次的概率是多少?
答：先求一次都没检测到的概率，再用1减。1 – (1–0.25)^16 = 98.9977%
2. 雷达在距离R上探测到一个给定概率的目标，如果(a)发射功率翻倍; (b)天线面积翻倍; (c)目标RCS翻倍，R分别增加了多少百分比?
答：这个问题是为了增强对雷达方程的理解。
（a）18.9%；（b）41.4%；（c）18.9%
3. 一部雷达需要用波束宽度为2°的笔状波束扫描10°(俯仰) × 100°(方位)的角视场范围。问(a)需要多少个波束驻留位置? (b)如果每个波束位置的驻留时间为0.02 s，那么帧时间是多少?
答：这个首先要看是什么步进扫描方式，常见的如下图所示，我们就计算这种步进扫描方式下的。
1）波束驻留位置：2*10/2 * 2*100/2=1000个
2）帧时间：1000*0.02s=20s
4.按照下方的参数再计算一遍原书中191页的计算题，求出脉冲多普勒雷达检测概率为50%的距离，参数如下:
- 平均功率： 10KW
- 有效天线面积： 1m2
- 波长： 0.03m
- 接收机噪声系数： 3dB
- 总损耗： 10dB
- 目标RCS： 0.1 m2
- 照射目标的时间： 0.01s
- 需要的SNR： 13dB
答：我们先把原书中191页中的例子看一下：
代入新的雷达参数，计算得R50为81km。
5.问题4中雷达的功率孔径积是多少？
答：功率孔径积是雷达系统设计中非常重要的一个参数，它基本决定了雷达的造价和大部分性能。功率孔径积就是字面意思，功率和孔径的乘积，天线孔径==天线的有效面积，所以答案为10000Wm2。
