【算法设计】最大子矩阵问题
出自http://www.cnblogs.com/JPAORM/archive/2012/04/23/2510005.html
一,最大子矩阵问题:
给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵,请找到此矩阵的一个子矩阵,并且此子矩阵的各个元素的和最大,输出这个最大的值。
Example:
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其中左上角的子矩阵:
9 2
-4 1
-1 8
此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。
这个问题与最大子段有什么联系呢?
| a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ar1 …… ari ……arj ……arn |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
| . . . . . . . |
| an1 …… ani ……anj ……ann |
那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来,可以得到一个一维数组如下:
(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子段和问题,到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。
给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵,请找到此矩阵的一个子矩阵,并且此子矩阵的各个元素的和最大,输出这个最大的值。
Example:
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其中左上角的子矩阵:
9 2
-4 1
-1 8
此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。
二,分析
子矩阵是在矩阵选取部份行、列所组成的新矩阵。
例如
它亦可用A(3;2)表示,显示除掉第3行和第2列的余下的矩阵。这两种方法比较常用,但还是没有标准的方法表示子矩阵。
以上为维基百科上给出的定义,感觉跟此题的定义不是一回事呢?
我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵,然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2),显然此方法不可行。怎么使得问题的复杂度降低呢?对了,相信大家应该知道了,用动态规划。对于此题,怎么使用动态规划呢?
请先参考-->最大子段和问题这个问题与最大子段有什么联系呢?
假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵,如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始):
| a11 …… a1i ……a1j ……a1n || a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ar1 …… ari ……arj ……arn |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
| . . . . . . . |
| an1 …… ani ……anj ……ann |
那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来,可以得到一个一维数组如下:
(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子段和问题,到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。
三,源码
C++:
- #include <iostream>
- using namespace std;
- int maxSubArray(int a[],int n)
- {
- int b=0,sum=a[0];
- for(int i=0;i<n;i++)
- {
- if(b>0)
- b+=a[i];
- else
- b=a[i];
- if(b>sum)
- sum=b;
- }
- return sum;
- }
- int maxSubMatrix(int array[][3],int n)
- {
- int i,j,k,max=0,sum=-100000000;
- int b[3];
- for(i=0;i<n;i++)
- {
- for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]
- {
- b[k]=0;
- }
- for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值
- {
- for(k=0;k<n;k++)
- {
- b[k]+=array[j][k];
- }
- max=maxSubArray(b,k);
- if(max>sum)
- {
- sum=max;
- }
- }
- }
- return sum;
- }
- int main()
- {
- int n=3;
- int array[3][3]={{1,2,3},{-1,-2,-3},{4,5,6}};
- cout<<"MaxSum: "<<maxSubMatrix(array,n)<<endl;
- }
java:
- import java.util.Scanner;
- public class PKU_1050
- {
- private int maxSubArray(int n,int a[])
- {
- int b=0,sum=-10000000;
- for(int i=0;i<n;i++)
- {
- if(b>0)
- b+=a[i];
- else
- b=a[i];
- if(b>sum)
- sum=b;
- }
- return sum;
- }
- private int maxSubMatrix(int n,int[][] array)
- {
- int i,j,k,max=0,sum=-100000000;
- int b[]=new int[101];
- for(i=0;i<n;i++)
- {
- for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]
- {
- b[k]=0;
- }
- for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值
- {
- for(k=0;k<n;k++)
- {
- b[k]+=array[j][k];
- }
- max=maxSubArray(k,b);
- if(max>sum)
- {
- sum=max;
- }
- }
- }
- return sum;
- }
- public static void main(String args[])
- {
- PKU_1050 p=new PKU_1050();
- Scanner cin=new Scanner(System.in);
- int n=0;
- int[][] array=new int[101][101];
- while(cin.hasNext())
- {
- n=cin.nextInt();
- for(int i=0;i<n;i++)
- {
- for(int j=0;j<n;j++)
- {
- array[i][j]=cin.nextInt();
- }
- }
- System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array));
- }
- }
- }