AVL树理解、证明

注解：学习AVL树之前需要有二叉排序（搜索）树的基础，本文假定读者已经有这个基础。AVL树和二叉搜索树的插入删除不同，但查找相同，故AvlTree可以继承BST实现。

1.LL

(1)插入前，k1,k2,X,Y,Z都平衡；插入后只有k2不平衡

1. X-1-Y=0
2. X-1+1-Z=1
   证明：|Y-Z|<1 and |X-max(Y,Z)-1|<1

X=Z+1 and X=Y+1 成立
可得： Y=Z => |Y-Z|<1 成立
可得：max(Y,Z)=Y =>|X-max(Y,Z)|=X-Y=0<1 成立

最简单的情况举例：
注解：插入平衡前树高度h1=X-1+2=+1,插入平衡后树高度=X+1,所以前后高度不变，不影响父节点（多级）平衡性。

2.LR

插入前k1,k2,k3都平衡，插入后只有k3不平衡
假设由于B的增加导致k3失去平衡

1. B=C+1
2. B+1-A=1
3. B+2-D=2
   可得：B=D and A=B and D=C+1 所以k1,k3都平衡
   可得 max(A,B)-max(C,D)=B-D=0 所以k2平衡

最简单的情况举例（这是上面的特例）：
注解：插入平衡前树高度h1=C+3 插入平衡后树高度=C+1+2=C+3,所以前后高度不变，不影响父节点（多级）平衡性。

注：

（1）LR中，如果由于C的增加导致k3失去平衡，那么同理

（2）至于RR和RL情况为这两种情况的镜像对称，所以不再说明

（3）由于插入是自顶向下判断而平衡是自底向上的，所以LR中只需要考虑k3失去平衡就可以了,因为底下已经判断过了

（4）总的来说，平衡策略是把高度小的组件下调，把高度高的组件上调，满足平衡因子绝对值不大于2，并且满足二叉搜索树的条件。

3.深度复杂度

设AVL树深度为h，则最少节点数f(h)的表达式如下图所示：

表达式类似于斐波那契数列，则f(h)逆函数为g(N),则应该能推出O(g(N))=O(log(N)) (本人不会证明…)

转载请注明出处，图片来自于《数据结构与算法分析Java语言描述》